Encontre D_u f em P .

f(x, y, z) = y * e^(xy) + z^2; P 0,2, 3; u = 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k

Passo 1

Para encontrar f_x (x , y , z) , f_y (x , y , z) e f_z (x , y , z) no ponto P (0,2 , 3) , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f_x (x , y , z) = y e^(x y)

f_x (0,2 , 3) = 2 e^(0 * 2) = 2

f_y (x , y , z) = e^(x y)

f_y (0,2 , 3) = e^(0 * 2) = 1

f_z (x , y , z) = 2 z

f_z (0,2 , 3) = 2 * 3 = 6

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x (0,2 , 3) , f_y (, 0,2 , 3) e f_z (0,2 , 3) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0 , z_0) = f_x (x , y , z) u_1 + f_y (x , y , z) u_2 + f_z (x , y , z) u_3

Onde

u = u_1 i + u_2 j + u_3 k

Fazer as substituições, temos:

D_u f (0,2 , 3) = f_x (0,2 , 3) u_1 + f_y (0,2 , 3) u_2 + f_z (0,2 , 3) u_3 = 2 * ((2)/(7)) + 1 * (- (3)/(7)) + 6 * ((6)/(7)) = (4 - 3 + 36)/(7) = (37)/(7)

Certinho, né?

Resposta

D_u f (2 , - 1,1) = (37)/(7)