Encontre D_u f em P .

f (x , y , z) = l n l n (x^2 + 2 y^2 + 3 z^2) ; P (- 1,2 , 4) ; u = - (3)/(13) i - (4)/(13) j - (12)/(13) k

Passo 1

Para encontrar f_x (x , y , z) , f_y (x , y , z) e f_z (x , y , z) no ponto P (- 1,2 , 4) , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f_x (x , y , z) = (2 x)/(x^2 + 2 y^2 + 3 z^2)

f_x (- 1,2 , 4) = (2 ( - 1 ))/(( - 1 )^2 + 2 ( 2 )^2 + 3 ( 4 )^2) = - (2)/(57)

f_y (x , y , z) = (4 y)/(x^2 + 2 y^2 + 3 z^2)

f_y (- 1,2 , 4) = (4 ( 2 ))/(( - 1 )^2 + 2 ( 2 )^2 + 3 ( 4 )^2) = (8)/(57)

f_z (x , y , z) = (6 z)/(x^2 + 2 y^2 + 3 z^2)

f_z (- 1,2 , 4) = (6 ( 4 ))/(( - 1 )^2 + 2 ( 2 )^2 + 3 ( 4 )^2) = (24)/(57)

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x (- 1,2 , 4) , f_y (- 1,2 , 4) e f_z (- 1,2 , 4) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0 , z_0) = f_x (x , y , z) u_1 + f_y (x , y , z) u_2 + f_z (x , y , z) u_3

Onde

u = u_1 i + u_2 j + u_3 k

Fazer as substituições, temos:

D_u f (- 1,2 , 4) = f_x (- 1,2 , 4) u_1 + f_y (- 1,2 , 4) u_2 + f_z (- 1,2 , 4) u_3 = - (2)/(57) * (- (3)/(13)) + (8)/(57) * (- (4)/(13)) + (24)/(57) * (- (12)/(13)) = (6 - 32 + 288)/(741) = (- 314)/(741)

Certinho, né?

Resposta

D_u f (- 1,2 , 4) = (- 314)/(741)