Enunciado

Encontre D u   f em P .

f   x , y , z = l n l n   x 2 + 2 y 2 + 3 z 2   ;   P   - 1,2 , 4 ;   u   = - 3 13 i - 4 13 j - 12 13 k

Passo 1

Para encontrar f x   x , y , z , f y   x , y , z e f z   x , y , z no ponto P   - 1,2 , 4 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y , z   = 2 x x 2 + 2 y 2 + 3 z 2

f x   - 1,2 , 4   = 2 ( - 1 ) ( - 1 ) 2 + 2 ( 2 ) 2 + 3 ( 4 ) 2 = - 2 57

f y   x , y , z   = 4 y x 2 + 2 y 2 + 3 z 2

f y   - 1,2 , 4   = 4 ( 2 ) ( - 1 ) 2 + 2 ( 2 ) 2 + 3 ( 4 ) 2 = 8 57

f z   x , y , z   = 6 z x 2 + 2 y 2 + 3 z 2

f z   - 1,2 , 4   = 6 ( 4 ) ( - 1 ) 2 + 2 ( 2 ) 2 + 3 ( 4 ) 2 = 24 57

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   - 1,2 , 4 , f y   - 1,2 , 4 e f z   - 1,2 , 4 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 ,   z 0 =   f x   x , y , z u 1 + f y   x , y , z u 2 + f z   x , y , z u 3

Onde

u   = u 1 i + u 2 j   + u 3 k

Fazer as substituições, temos:

D u   f     - 1,2 , 4 =   f x   - 1,2 , 4 u 1 + f y   - 1,2 , 4 u 2 + f z   - 1,2 , 4 u 3 = - 2 57 * - 3 13 + 8 57 * - 4 13 + 24 57 * - 12 13 =   6 - 32 + 288 741 = - 314 741

Certinho, né?

Resposta

D u   f   - 1,2 , 4 =   - 314 741

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