Encontre D_u f em P .

f(x, y, z) = sen(xyz); P(1/2, 1/3, pi); u = 1/raiz(3)i - 1/raiz(3)j + 1/raiz(3)k

Passo 1

Para encontrar f_x (x , y , z) , f_y (x , y , z) e f_z (x , y , z) no ponto P ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f_x (x , y , z) = y z c o s x y z

f_x ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) = (pi)/(3) c o s (pi)/(6)

f_y (x , y , z) = x z c o s x y z

f_y ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) = (pi)/(2) c o s (pi)/(6)

f_z (x , y , z) = x y c o s x y z

f_z ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) = (1)/(6) c o s (pi)/(6)

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) , f_y ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) e f_z ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0 , z_0) = f_x (x , y , z) u_1 + f_y (x , y , z) u_2 + f_z (x , y , z) u_3

Onde

u = u_1 i + u_2 j + u_3 k

Fazer as substituições, temos:

D_u f ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) = f_x ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) u_1 + f_y ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) u_2 + f_z ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) u_3 = (pi)/(3) c o s (pi)/(6) * ((1)/(sqrt(3))) + (pi)/(2) c o s (pi)/(6) * (- (1)/(sqrt(3))) + (1)/(6) c o s (pi)/(6) * ((1)/(sqrt(3))) = (1 - pi)/(6 sqrt(3)) c o s (pi)/(6)

Certinho, né?

Resposta

D_u f ((1)/(2) , (1)/(3) , pi) = (1 - pi)/(6 sqrt(3)) c o s (pi)/(6)