Calcule a integral it erada.

int_(1 // 2)^1 int_0^(2 x) c o s ( pi x^2 ) d y d x

Passo 1

Fala galera! Começaremos mais um questão de integral dupla. Vamos resolver!

int_((1)/(2))^1 int_0^(2 x) c o s c o s (pi x^2) d y d x = int_((1)/(2))^1 [(pi x^2)]_0^(2 x) d x = int_((1)/(2))^1 2 x c o s c o s (pi x^2) d x

Usando a regra da substituição, onde:

u = pi x^2 -> d u = 2 x pi d x -> d x = (d u)/(2 x pi)

Temos:

int_()^() 2 x c o s c o s (u) (d u)/(2 x pi) = int_()^() c o s c o s (u) (d u)/(pi) = - (1)/(pi) s e n ( u )

Voltando para a integral original, temos:

int_((1)/(2))^1 2 x c o s c o s (pi x^2) d x = [(1)/(pi) s e n ( pi x^2 )]_(1 // 2)^1 = (1)/(pi) (pi) - (1)/(pi) (pi ((1)/(2))^2) = - (1)/(pi) * (sqrt(2))/(2) = - (sqrt(2))/(2 pi) * (sqrt(2))/(sqrt(2)) = - (1)/(sqrt(2) pi)

Resposta

- (1)/(sqrt(2) pi)