Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.

Aproxime sen 4° com precisão de cinco casas decimais usando ambos os métodos dados no Exemplo 2.

Passo 1

Bom, vamos começar mais uma questão.

O método 1: Teorema da Estimativa do Resto nos diz que:

R n ( x ) ≤ M n + 1 ! x - x 0 n + 1

O método 2: O Teste da Série Alternada nos diz que:

R n x - S n < x - x 0 n + 2 n + 2 !

Então, vamos lá!

Passo 2

Temos que:

s e n   4 ° = s e n π 45 = π 45 - π 45 3 3 ! - π 45 5 5 ! - …

Método 1: Usando o Teorema da Estimativa do Resto:

R n π 45 ≤ π 45 n + 1 n + 1 !

n + 1 = 4   → n = 3

R n π 45 ≤ π 45 3 + 1 3 + 1 ! ≤ π 45 4 4 ! ≤ 0,000005

s e n   4 ° ≈ π 45 - π 45 3 3 ! ≈ 0,069756

Método 2: Usando o Teste da Série Alternada

s e n 4 ° - S n < π 45 n + 2 n + 2 ! ≤ 0,000005

n + 1 = 4   → n = 3

π 45 5 5 ! = 0,0000000013

Temos que:

s e n   4 ° = s e n π 45 = π 45 - π 45 3 3 ! - π 45 5 5 ! ≈ 0,0697559 ≈ 0,069756

Resposta

0,069756