(a) A área de um círculo de raio R é πR2 e o perímetro da correspondente circunferência é 2πR. Mostrar que o coeficiente de variação da área relativamente ao raio é igual ao perímetro da circunferência correspondente.

(b) O volume de uma esfera de raio R é 4 3 π R 3 e a sua área é 4 π R 2 . Mostrar que o coeficiente de variação do volume de uma esfera a respeito do raio é igual a sua área.

Passo 1

(a) Para achar a variação da área relativamente ao raio, basta derivarmos a função área (πR2) em função do raio (dR). Ou seja,

Á r e a = π R 2 → d Á r e a d R = d ( π R 2 ) d R → d Á r e a d R = 2 π R ( 2 - 1 ) = 2 π R  

Logo,

d Á r e a d R = 2 π R = P e r í m e t r o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a

Passo 2

(b) Para achar a variação do volume de uma esfera, relativo ao raio, basta derivarmos a função volume 4 3 π R 3 em função do raio (dR). Ou seja,

V o l u m e = 4 3 π R 3 → d V o l u m e d R = d 4 3 π R 3 d R → d V o l u m e d R = 3 . 4 3 .   π . R ( 3 - 1 ) = 4 π R 2

Logo,

d V o l u m e d R = 4 π R 2 = Á r e a   d a   e s f e r a

Assim, provamos as duas relações.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)