Assinale as condições sob as quais as seguintes desigualdades são verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Show de bola, galera! Vamos resolver esses problemas de uma maneira bem parecida. Para os 3 primeiros, vamos inverter a inequação e vamos obter o resultado esperado. Nas duas últimas vamos precisar usar um artifício diferente: Vamos estudar primeiro a igualdade e então vamos analisar a desigualdade. Tendo dito isto, vamos começar:
Passo 2
a) Invertendo a inequação teremos como consequência a inversão do sinal da desigualdade:
Assim, nossa resposta será dada, em termos de conjuntos, por
Passo 3
b) Invertendo a inequação teremos como consequência a inversão do sinal da desigualdade:
Assim, nossa resposta será dada, em termos de conjuntos, por
Passo 4
c) ) Invertendo a inequação teremos como consequência a inversão do sinal da desigualdade:
Extraindo a raiz quadrada, vamos obter a seguinte relação
Essa equação nos leva a duas situações:
Assim, nossa resposta será dada, em termos de conjuntos, por
Passo 5
d) Aqui, vamos trabalhar com a igualdade e vamos observar o que pode ser encontrado a partir daí:
Pergunta: Qual o número que é igual ao seu oposto?
Resposta: Zero. Mais ainda, é o único. Assim, a igualdade é satisfeita.
Agora, observe a desigualdade. Ela é exclusiva, ou seja, não possui a igualdade (maior ou igual; menor ou igual). Logo, não há um número que satisfaça a desigualdade. Assim:
Passo 6
e) Vamos seguir a mesma ideia do item anterior, ou seja, vamos trabalhar com a igualdade:
Não podemos tirar a raiz quadrada porque o primeiro membro da igualdade é composto de um sinal negativo fora do termo que está elevado ao quadrado. Mas podemos seguir pelo seguinte raciocínio: Todo número elevado ao quadrado é positivo. Assim, o resultado final do primeiro membro é um número negativo enquanto que o segundo membro sempre será um número positivo. Assim, teríamos o conjunto dos reais satisfazendo essa igualdade. Contudo, haverá uma situação que isso não ocorre e ela é justamente a situação da letra d), ou seja, quando . Assim, nossa resposta será:
E assim, finalizamos esta questão bem delicinha!
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)