Assinale as condições sob as quais as seguintes desigualdades são verdadeiras:

a)

1 / x < 1 / 10

b)

1 / x < 1 / 100

c)

1 / (x^2 - 1) < 1 / 1000

d)

x < -x

e)

- x^2 < x^2

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos resolver esses problemas de uma maneira bem parecida. Para os 3 primeiros, vamos inverter a inequação e vamos obter o resultado esperado. Nas duas últimas vamos precisar usar um artifício diferente: Vamos estudar primeiro a igualdade e então vamos analisar a desigualdade. Tendo dito isto, vamos começar:

Passo 2

a) Invertendo a inequação teremos como consequência a inversão do sinal da desigualdade:

1 x < 1 10 ⇒ x > 10

Assim, nossa resposta será dada, em termos de conjuntos, por

S = x ∈ R   x > 10 }

Passo 3

b) Invertendo a inequação teremos como consequência a inversão do sinal da desigualdade:

1 x < 1 10 0 ⇒ x > 10 0

Assim, nossa resposta será dada, em termos de conjuntos, por

S = x ∈ R   x > 10 0 }

Passo 4

c) ) Invertendo a inequação teremos como consequência a inversão do sinal da desigualdade:

x 2 - 1 > 1000 ⇒ x 2 > 1000 + 1 ⇒ x 2 > 1001

Extraindo a raiz quadrada, vamos obter a seguinte relação

x 2 > 1001 ⇒ x > 1001

Essa equação nos leva a duas situações:

x > 1001     ou     x < - 1001

Assim, nossa resposta será dada, em termos de conjuntos, por

S = x ∈ R   x < - 1001 ∪   x > 1001 }  

Passo 5

d) Aqui, vamos trabalhar com a igualdade e vamos observar o que pode ser encontrado a partir daí:

- x = x

Pergunta: Qual o número que é igual ao seu oposto?

Resposta: Zero. Mais ainda, é o único. Assim, a igualdade é satisfeita.

Agora, observe a desigualdade. Ela é exclusiva, ou seja, não possui a igualdade (maior ou igual; menor ou igual). Logo, não há um número que satisfaça a desigualdade. Assim:

S = ϕ

Passo 6

e) Vamos seguir a mesma ideia do item anterior, ou seja, vamos trabalhar com a igualdade:

- x 2 = x 2

Não podemos tirar a raiz quadrada porque o primeiro membro da igualdade é composto de um sinal negativo fora do termo que está elevado ao quadrado. Mas podemos seguir pelo seguinte raciocínio: Todo número elevado ao quadrado é positivo. Assim, o resultado final do primeiro membro é um número negativo enquanto que o segundo membro sempre será um número positivo. Assim, teríamos o conjunto dos reais satisfazendo essa igualdade. Contudo, haverá uma situação que isso não ocorre e ela é justamente a situação da letra d), ou seja, quando x = 0 . Assim, nossa resposta será:

S = R = { 0 }

E assim, finalizamos esta questão bem delicinha!

Resposta

a)

S = x ∈ R   x > 10 }

b)

S = x ∈ R   x > 100 }

c)

S = x ∈ R   x < - 1001 ∪   x > 1001 }

d)

S = ϕ

e)

S = R = { 0 }