Enunciado

Associe cada equação diferencial com sua família de soluções.

Passo 1

A forma mais fácil de resolver esta questão é usar o método de fatores integrantes nas alternativas de fácil resolução, no caso a) e c).

x d y d x = y

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, arrumando os termos e os dividindo por “x” e temos: d y d x - y x = 0

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)= - 1 x e Q(x)= 0 .

Depois determina-se o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ - 1 x   d x u = e - l o g ⁡ ( x ) u = 1 x

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

1 x * y   =   ∫ ( 1 x *   0 ) d x .

Isolando o “y” temos a solução iv):

i )       y =   x * C

Passo 2

c) d y d x = 2 x

A letra c) é resolvida da mesma forma da a). Identifica-se que ela já está na forma adequada, então identifica-se P(x)=0 e Q(x)=2x

Depois determina-se o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ ( 0 )   d x u = e 0 u = 1

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

1 * y   =   ∫ ( 1 * 2 x ) d x .

Isolando o “y” e resolvendo a integral, temos a solução i):

i )       y =   x 2 + C

Passo 3

Para resolvermos a letra b) e d) usaremos uma estratégia de associar ao seguinte modelo de equação geral: y ' ' + a y ' + b y = 0 . Considerando ‘a’ e ‘b’ constantes, temos.

y ’ ’ = 4 y

Escrevendo a equação na característica da equação geral:

y 2 - 4 = 0                         1

Percebe-se que temos uma equação do segundo grau que gera raízes reais, assim, de acordo com a regra, o modelo da solução geral deve seguir o modelo:

y = C 1 e r 1 x +   C 2 e r 2 x             ( 2 )

Assim, resolvendo a equação (1) pela fórmula de Bhaskara temos a raiz=±2 , substituindo a raiz na equação (2), temos a equação geral iii) :

y = C 1 e 2 x +   C 2 e - 2 x            

d) d 2 y d x 2 =   - 4 y

Fazendo a mesma estratégia da letra b). Escrevemos a equação na característica da equação geral:

y 2 + 4 = 0                         1

Percebe-se que temos uma equação do segundo grau que gera raízes imaginárias, assim, de acordo com a regra, o modelo da solução geral deve seguir o modelo:

y = C 1 c o s ⁡ ( x ) +   C 2 s e n ( x )             ( 2 )

Assim, resolvendo a equação (1) pela fórmula de Bhaskara temos a raiz=±2i , substituindo a raiz na equação (2), temos a equação geral ii) :

y = (   C 1 c o s c o s   2 x   +   C 2   s e n 2 x   )            

Resposta

a) x d y d x = y i v )       y =   x * C

b) y ’ ’ = 4 y i i i )       y = C 1 e 2 x +   C 2 e - 2 x        

c) d y d x = 2 x i )       y =   x 2 + C

d) d 2 y d x 2 =   - 4 y i i )     y = (   C 1 c o s c o s   2 x   +   C 2   s e n 2 x   )

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