Avalie o limite abaixo. Indique quais das Propriedades de 1 a 10 são usadas.

lim x → 5 2 ⁡ 4 x 2 - 25 2 x - 5

Passo 1

Show de bola, galera. Tudo o que temos que fazer aqui é ir indicando as operações indicadas em cada passo. Já adianto que este tipo de questão é puramente didática. Na prática você irá utilizar técnicas mais diretas para a obtenção do limite. Dito isto, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a Propriedade 4:

lim x → 5 2 ⁡ 4 x 2 - 25 2 x - 5 = l i m x → 5 2 4 x 2 - 25 l i m x → 5 2 ( 2 x - 5 )

Mas aqui temos um problema. A propriedade 4 nos fornece uma restrição. O limite do denominador deve zer diferente de zero. E de cara já podemos ver que ele vai se anular. Então, vamos ter que simplificar a função para podermos prosseguir. Vamos transformar o numerador num produto notável e vermos o que conseguimos fazer:

f x = 4 x 2 - 25 2 x - 5 = ( 2 x + 5 ) ( 2 x - 5 ) 2 x - 5 = 2 x + 5

Agora, podemos continuar!

Passo 3

lim x → 5 2 ⁡ 4 x 2 - 25 2 x - 5 = l i m x → 5 2 2 x + 5

Usando as Propriedades 1 e 2, vamos obter:

l i m x → 5 2 2 x + 5 = 2 ⋅ l i m x → 5 2 x + l i m x → 5 2 5

Para encontrarmos o valor do limite, basta substituirmos os valores, lembrando da Propriedade 8:

2 ⋅ l i m x → 5 2 x + l i m x → 5 2 5 = 2 ⋅ 5 2 + 5 = 5 + 5

∴ lim x → 5 2 ⁡ 4 x 2 - 25 2 x - 5 = 10

FeShow!

Resposta

lim x → 5 2 ⁡ 4 x 2 - 25 2 x - 5 = 10