Avalie o limite abaixo. Indique quais das Propriedades de 1 a 10 são usadas.

lim x → 2 ⁡ x 2 + x + 1 x 2 + 2 x

Passo 1

Show de bola, galera. Tudo o que temos que fazer aqui é ir indicando as operações indicadas em cada passo. Já adianto que este tipo de questão é puramente didática. Na prática você irá utilizar técnicas mais diretas para a obtenção do limite. Dito isto, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a Propriedade 4:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x + 1 x 2 + 2 x = l i m x → 2 x 2 + x + 1 l i m x → 2 ( x 2 + 2 x )

Agora, vamos aplicar a Propriedade 1 tanto no numerador quanto no denominador:

l i m x → 2 x 2 + x + 1 l i m x → 2 ( x 2 + 2 x ) = l i m x → 2 x 2 + l i m x → 2 x + l i m x → 2 1 l i m x → 2 x 2 + l i m x → 2 2 x

Agora, vamos aplicar a Propriedade 2 na função 2 x no denominador:

l i m x → 2 2 x = 2 ⋅ l i m x → 2 x

Juntando tudo, vamos obter

lim x → 2 ⁡ x 2 + x + 1 x 2 + 2 x = l i m x → 2 x 2 + l i m x → 2 x + l i m x → 2 1 l i m x → 2 x 2 + 2 ⋅ l i m x → 2 x

Passo 3

Para encontrarmos o valor do limite, basta substituirmos os valores, lembrando da Propriedade 8:

l i m x → 2 x 2 + l i m x → 2 x + l i m x → 2 1 l i m x → 2 x 2 + 2 ⋅ l i m x → 2 x = 2 2 + 2 + 1 2 2 + 2 ⋅ 2 = 4 + 3 4 + 4

∴ lim x → 2 ⁡ x 2 + x + 1 x 2 + 2 x = 7 8

Show! Agora podemos ir para a próxima!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 + x + 1 x 2 + 2 x = 7 8