Avalie o limite abaixo. Indique quais das Propriedades de 1 a 10 são usadas.

lim t → 1 2 ⁡ t 2 + 1   1 + 2 t + 8

Passo 1

Show de bola, galera. Tudo o que temos que fazer aqui é ir indicando as operações indicadas em cada passo. Já adianto que este tipo de questão é puramente didática. Na prática você irá utilizar técnicas mais diretas para a obtenção do limite. Dito isto, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a Propriedade 4:

lim t → 1 2 ⁡ t 2 + 1   1 + 2 t + 8 = l i m t → 1 2   t 2 + 1 l i m t → 1 2   ( 1 + 2 t + 8

Agora vamos aplicar a Propriedade 1 no numerador e no denominador:

l i m t → 1 2   t 2 + 1 l i m t → 1 2   ( 1 + 2 t + 8 = l i m t → 1 2   t 2 + l i m t → 1 2   1 l i m t → 1 2   1 + l i m t → 1 2 2 t + 8

Agora, a Propriedade 6 na raiz quadrada do denominador:

l i m t → 1 2   2 t + 8 = l i m t → 1 2   ( 2 t + 8 )

Então, vamos aplicar as Propriedade 1 e 2 ainda na raiz:

l i m t → 1 2   ( 2 t + 8 ) = 2   l i m t → 1 2   t + l i m t → 1 2   8

Juntando tudo, vamos obter

lim t → 1 2 ⁡ t 2 + 1   1 + 2 t + 8 = l i m t → 1 2   t 2 + l i m t → 1 2   1 l i m t → 1 2   1 + 2   l i m t → 1 2   t + l i m t → 1 2   8

Passo 3

Para encontrarmos o valor do limite, basta substituirmos os valores, lembrando da Propriedade 8:

l i m t → 1 2   t 2 + l i m t → 1 2   1 l i m t → 1 2   1 + 2   l i m t → 1 2   t + l i m t → 1 2   8 = 1 2 2 + 1 1 + 2 ⋅ 1 2 + 8 = 1 4 + 1 1 + 1 + 8 = 5 4 1 + 9 = 5 4 1 + 3   = 5 4 4

∴ lim t → 1 2 ⁡ t 2 + 1   1 + 2 t + 8 = 5 16

Feshow!

Resposta

lim t → 1 2 ⁡ t 2 + 1   1 + 2 t + 8 = 5 16