Avalie o limite abaixo. Indique quais das Propriedades de 1 a 10 são usadas.

lim h → 0 ⁡ 1 h 6 + h 3 + 2 h - 2

Passo 1

Show de bola, galera. Tudo o que temos que fazer aqui é ir indicando as operações indicadas em cada passo. Já adianto que este tipo de questão é puramente didática. Na prática você irá utilizar técnicas mais diretas para a obtenção do limite. Dito isto, vamos lá!

Passo 2

Se tentarmos aplicar diretamente a Propriedade 4, vamos chegar numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Assim, vamos simplificar a função. Comecemos expandindo o termo dentro do parênteses:

1 h   6 + h 3 + 2 h - 2 = 1 h   6 + h 3 + 2 h - 2 ⋅ 3 + 2 h 3 + 2 h = 1 h   6 + h - 6 - 4 h 3 + 2 h

= 1 h   - 3 h 3 + 2 h

Agora, somos capazes de eliminar o h tanto do numerador quanto do denominador:

1 h   - 3 h 3 + 2 h = - 3 3 + 2 h

Passo 3

Então, o limite inicial pode ser expresso da seguinte maneira:

lim h → 0 ⁡ 1 h 6 + h 3 + 2 h - 2 = l i m h → 0 - 3 3 + 2 h

Usando as Propriedades 1, 2 e 4, podemos escrever:

l i m h → 0 - 3 3 + 2 h = -   l i m ⁡ h → 0 3 l i m h → 0   3 + 2   l i m h → 0 h

Finalmente, fazendo uso da Propriedade 8, vamos encontrar:

-   lim ⁡ 3 h → 0 l i m h → 0   3 + 2   l i m h → 0 h = - 3 3 + 2 ⋅ 0 = - 3 3

∴ lim h → 0 ⁡ 1 h 6 + h 3 + 2 h - 2 = - 1

Let’s bora pra próxima questão!

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 h 6 + h 3 + 2 h - 2 = - 1