Avalie o limite abaixo. Indique quais das Propriedades de 1 a 10 são usadas.

lim t → 1 ⁡ 4 - t 2 2 + t

Passo 1

Show de bola, galera. Tudo o que temos que fazer aqui é ir indicando as operações indicadas em cada passo. Já adianto que este tipo de questão é puramente didática. Dito isto, vamos lá!

Passo 2

Se tentarmos aplicar diretamente a Propriedade 4, vamos chegar numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Assim, vamos simplificar a função. Comecemos expressando o numerador como um produto notável:

4 - t 2 = 2 + t 2 - t

Depois, expressemos o denominador como o produto de duas raízes:

2 + t = 2 + t ⋅ 2 + t

Assim, a função pode ser expressa como

4 - t 2 2 + t = ( 2 + t ) ( 2 - t ) 2 + t ⋅ 2 + t = 2 + t ⋅ 2 - t 2 + t ⋅ 2 + t = 2 - t 2 + t

Passo 3

Agora, podemos expressar o limite inicial como sendo

lim t → 1 ⁡ 4 - t 2 2 + t = l i m t → 1   2 - t 2 + t  

Vamos usar as Propriedades 1, 4 e 6:

l i m t → 1   2 - t 2 + t = l i m t → 1   2 - t l i m t → 1   2 + t = l i m t → 1   2 - l i m t → 1   t l i m t → 1   2 + l i m t → 1   t

Agora, vamos substituir os valores, lembrando de usar a Propriedade 8:

l i m t → 1   2 - l i m t → 1   t l i m t → 1   2 + l i m t → 1   t = 2 - 1 2 + 1 = 1 3 = 1 3 ⋅ 3 3 = 3 3

Partiu mais uma!

Resposta

lim t → 1 ⁡ 4 - t 2 2 + t = 3 3