Avalie o limite abaixo. Indique quais das Propriedades de 1 a 10 são usadas.

lim h → - 1 ⁡ 3 - h 2 + h + 9 h 3 + 1

Passo 1

Show de bola, galera. Tudo o que temos que fazer aqui é ir indicando as operações indicadas em cada passo. Já adianto que este tipo de questão é puramente didática. Dito isto, vamos lá!

Passo 2

Se tentarmos aplicar diretamente a Propriedade 4, vamos chegar numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Assim, vamos simplificar a função. Vamos começar fatorando o denominador. Assim, podemos escrevê-lo da seguinte maneira:

h 3 + 1 = ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 )

Então, a função original será escrita como

f x = 3 - h 2 + h + 9 h 3 + 1 = 3 - h 2 + h + 9 ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 )

Agora, vamos racionalizar o numerador da seguinte maneira:

3 - h 2 + h + 9 ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 ) = 3 - h 2 + h + 9 ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 ) ⋅ 3 + h 2 + h + 9 3 + h 2 + h + 9

Aqui vamos precisar de uma certa sagacidade. Vamos desenvolver o numerador, mas o denominador será deixado como o produto de três termos. Pode não parecer óbvio o motivo disso, mas mais na frente isso fará sentido:

3 - h 2 + h + 9 ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 ) ⋅ 3 + h 2 + h + 9 3 + h 2 + h + 9 = 9 - ( h 2 + h + 9 ) ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 ) ( 3 + h 2 + h + 9 )

= - ( h 2 + h ) ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 ) ( 3 + h 2 + h + 9 ) = - h ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h 2 - h + 1 ) ( 3 + h 2 + h + 9 )

Desta forma, podemos “cortar” o termo h + 1 tanto do numerador quanto do denominador. Logo, nossa função original poderá ser escrita como:

f x = - h ( h 2 - h + 1 ) ( 3 + h 2 + h + 9 )

Passo 3

Uma vez que a função foi simplificada, podemos aplicar a Propriedade 4:

l i m h → - 1 - h h 2 - h + 1 3 + h 2 + h + 9 = l i m h → - 1 - h l i m h → - 1     h 2 - h + 1 3 + h 2 + h + 9

Então, vamos aplicar a Propriedade 2 no numerador e as Propriedades 3, 1 e 6 no denominador:

l i m h → - 1 - h l i m h → - 1     h 2 - h + 1 3 + h 2 + h + 9

= - l i m h → - 1   h ( l i m h → - 1 h 2 - l i m h → - 1 h + l i m h → - 1 1 ) ( l i m h → - 1 3 + l i m h → - 1 h 2 + l i m h → - 1 h + l i m h → - 1 9

Finalmente, vamos substituir valores, lembrando de usarmos a Propriedade 2 nas funções constantes:

- - 1 - 1 2 - - 1 + 1 [ 3 + - 1 2 + - 1 + 9 = 1 1 + 1 + 1 ⋅ 3 + 9 = 1 3 3 + 3 = 1 3 ⋅ 6

∴ lim h → - 1 ⁡ 3 - h 2 + h + 9 h 3 + 1 = 1 18

Ufa! Ainda bem que aprenderemos técnicas mais rápidas e sofisticadas brevemente. Por ora, é isso!

Resposta

lim h → - 1 ⁡ 3 - h 2 + h + 9 h 3 + 1 = 1 18