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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 22

Avalie int_0^1 (sin (x))/(x) d x com erro, em módulo, inferior a 10^(- 3) .

Passo 1

Primeiro é importante que a gente se lembre de que a expansão de sin (x) em séries de potências possui a seguinte forma:

sin (x) = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (( x^(2 n + 1) ))/((2 n + 1) !)

Se nós dividirmos por x , obteremos:

(sin (x))/(x) = (sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (( x^(2 n + 1) ))/((2 n + 1) !))/(x) = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (( x^(2 n + 1 - 1) ))/((2 n + 1) !) = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (( x^(2 n) ))/((2 n + 1) !)

Passo 2

Sabendo disso, repare que o enunciado nos pede:

int_0^1 (sin (x))/(x) d x = int_0^1 [sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n ((x^(2 n)))/((2 n + 1) !)] d x

Sabemos que a integral da soma é a soma das integrais, e perceba que o único termo que depende de x é x^(2 n) .

Ou seja, teremos o seguinte:

sum_(n = 0)^(oo) (((- 1)^n)/((2 n + 1) !)) int_0^1 x^(2 n) d x

Trivialmente,

int_0^1 x^(2 n) d x = [(x^(2 n + 1))/(2 n + 1)] (1)/(0) = (1)/(2 n + 1)

Então,

int_0^1 (sin (x))/(x) = sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n)/((2 n + 1) (2 n + 1) !)

Passo 3

De capítulos anteriores, chegamos à conclusão de que o erro na soma de uma série alternada é dado por:

epsilon = | s - s_n |

Onde,

s = sum_(n = 0)^(oo) f (x)

E

s_n = sum_(n = 0)^n f (x)

Então, temos o seguinte:

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n)/((2 n + 1) (2 n + 1) !) = epsilon + sum_(n = 0)^(n = 1) ((- 1)^n)/((2 n + 1) (2 n + 1) !)

Em outras palavras:

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n)/((2 n + 1) (2 n + 1) !) = 10^(- 3) + 1 + (- (1)/(18)) = 0,9454

Resposta

Concluímos, com um erro em módulo, menor do que 10^(- 3) que:

int_0^1 (sin (x))/(x) d x = 0,9454

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