Um avião desloca-se em voo horizontal, 8 milhas acima do solo (Supor que a terra é plana). A rota do voo passa sobre um ponto P do solo. A distância entre o avião e o ponto P decresce na razão de 4 milhas por minuto, no instante em que essa distância é de 10 milhas. Determinar a velocidade do avião em milhas por hora.

Passo 1

Vamos criar uma figura que nos ajude a entender o que está ocorrendo

Temos que o segmento de reta com tamanho x é nossa “terra plana”, enquanto a altura é a altura do avião acima do solo (8 milhas) e y é nossa distância entre P e o avião.

Vale lembrar que a derivada da posição pelo tempo nos da a velocidade pelo tempo, usaremos isso.

Passo 2

Perceba a informação dada “A distância entre o avião e o ponto P decresce na razão de 4 milhas por minuto, no instante em que essa distância é de 10 milhas.” Isso quer nos dizer, de forma mais direta, que a derivada da (posição em relação à P), em função do tempo é de 4 milhas por minuto, quando temos y = 10 milhas, ou seja, a velocidade do avião em relação à P é de 4 milhas por minuto = 240 milhas por hora.

Em termos matemáticos:

d y d t   = 4 m i s   ,   p a r a   y = 10   m i l h a s

Passo 3

Porém, a questão nos pede a velocidade horizontal do avião que seria meio que a “velocidade real”.

Como nós queremos d x   d t   (V horizontal) porém só temos informação de d y d t   , vamos achar uma forma de relacionar x e y.

Veja pela nossa figura que temos um triangulo retângulo, que vale Pitágoras.

x 2 = y 2 - 64  

x = y 2 - 64

Derivando em y:

d x d y = d y 2 - 64 d y = 2 y 2 ( y 2 - 64 ) = y y 2 - 64 )

P a r a   y = 10 ,   t e m o s :

d x d y = 10 6 = 5 3

d x d y = 5 3   → d x d y   ∙ d y d t = 5 3   ∙ d y d t

s u b s t i t u i n d o d y d y   p o r   240 m i h     s i m p l i f i c a n d o   n o   l a d o   e s q u e r d o :

d x d t = 5 3   240 m i h = 400 m i h = v

Resposta

v = 400 m i h