Bactérias crescem em uma cultura a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Inicialmente, existem 300 fileiras de bactérias na cultura e após duas horas esse número aumenta em 20%. Determine (a) uma expressão para o número aproximado de fileiras na cultura em um instante de tempo t , e (b) o tempo necessário para a duplicação do número de bactérias original.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então temos:

d N d t = k N

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução da letra (a)

Na (b) nos restará aplicar o valor das fileiras de bactérias para encontrarmos o tempo.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 N d N = k d t

∫ 1 N d N = k ∫ d t

l n N + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ N + c = e k t

N e c = e k t

N = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

N = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , N = 300 .

300 = c e 0

c = 300

Em t = 2 , N = 300 1,2 = 360 .

360 = c e 2 k

360 = 300 e 2 k

1,2 = e 2 k

ln ⁡ 1,2 = 2 k

k = 1 2 ln ⁡ 1,2

k = 0,0912

Portanto, a nossa função N ( t ) é:

N t = 300 e 0,0912 t

Passo 3

Como dito no passo 1, agora aplicamos o número de fileiras na equação que definimos acima e achamos o tempo.

600 = 300 e 0,166 t

2 = e 0,0912 t

ln ⁡ 2 = 0,0912 t

      t = 7,6   h o r a s

Resposta

  1. N t = 300 e 0,0912 t
  2. t = 7,6   h o r a s