Bactérias crescem em uma solução nutriente a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Inicialmente, existem 250 fileiras de bactérias na solução, as quais aumentam para 800 fileiras após sete horas. Determine (a) uma expressão para o número aproximado de fileiras na cultura em um instante de tempo t , e (b) o tempo necessário para que o número de bactérias atinja 1600 fileiras.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então temos:

d N d t = k N

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução da letra (a)

Na (b) nos restará aplicar o valor das fileiras de bactérias para encontrarmos o tempo.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 N d N = k d t

∫ 1 N d N = k ∫ d t

l n N + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ N + c = e k t

N e c = e k t

N = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

N = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , N = 250 .

250 = c e 0

c = 250

Em t = 7 , N = 800 .

800 = c e 7 k

800 = 250 e 7 k

3,2 = e 7 k

ln ⁡ 3,2 = 7 k

k = 1 7 ln ⁡ 3,2

k = 0,166

Portanto, a nossa função N ( t ) é:

N t = 250 e 0,166 t

Passo 3

Como dito no passo 1, agora aplicamos o número de fileiras na equação que definimos acima e achamos o tempo.

1600 = 250 e 0,166 t

6,4 = e 0,166 t

ln ⁡ 6,4 = 0,166 t

      t = 11,18   h o r a s

Resposta

  1. N t = 250 e 0,166 t
  2. t = 11,18   h o r a s