Um barco navega paralelamente à costa, suposta retilínea, com uma velocidade de 12 milhas por hora e uma distancia da costa de 4 milhas. Qual é a velocidade de aproximação a um farol da costa no instante em que diste 5 milhas do farol?

Passo 1

Para começar uma questão desse tipo é sempre bom desenhar para entendermos melhor o que está ocorrendo

O problema nos dá a velocidade do barco paralela à costa, que é de 12 milhas por hora.

Vale lembrar que a derivada da posição pelo tempo nos dá a velocidade, ou seja:

d y d t = 12 m i h

Passo 2

A questão nos pede a velocidade de aproximação do bote em relação ao farol, ou seja, queremos a velocidade paralela ao segmento de reta de tamanho x, então queremos d x d t .

Passo 3

Se queremos d x d t   porém o enunciado não nos da informação sobre x, devemos relacionar x com y, uma vez que temos informações de y.

Por Pitágoras:

x 2 = y 2 + 16

x =   y 2 + 16

Derivando em y:

d x d y = y y 2 + 16

Agora vamos unir as equações, temos d x d y   e   d y d t ,   q u e r e m o s d x d t   , então basta multiplicar ambas:

d x d y = y y 2 + 16

d y d t = 12

Multiplicando:

d x d y d y d t = 12 y y 2 + 16   → d x d t = 12 y y 2 + 16

Como queremos d x d t   quando x = 5, podemos voltar em x 2 = y 2 + 16 para concluir que em x =5, temos y =3, então basta substituir y =4 na equação d x d t

d x d t = 36 9 + 16 = 7,2 m i h

Resposta

A velocidade de aproximação é de 7,2 m i h