O barril mostrado aqui tem o formato de um elipsoide com partes iguais cortadas a partir das extremidades por planos perpendiculares ao eixo z. As seções transversais perpendiculares ao eixo z são circulares. O barril tem 2h unidades de altura, o raio de sua seção média é R e os raios de suas extremidades são ambos r. Encontre uma fórmula para o volume do barril. Em seguida, verifique dois pontos. Primeiro, suponha que os lados do barril sejam endireitados para torná-lo um cilindro de raio R e altura 2h. Sua fórmula fornece o volume do cilindro? Em segundo lugar, suponha que r = 0 e h = R, de forma que o barril seja uma esfera. Sua fórmula fornece o volume da esfera?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e geometria espacial.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre cilindros e superfícies quádricas.

A partir do enunciado temos que o elipsóide tem a forma:

x 2 R 2 + y 2 R 2 + z 2 c 2 = 1

Para determinarmos c2, notamos que o ponto (0, r, h) está na superfície do barril.

Então:

r 2 R 2 + h 2 c 2 = 1 = > c 2 = h 2 1 - r 2 R 2 = h 2 R 2 R 2 - r 2

O volume é calculado por:

V = π ∫ - h h y 2 d z

Sendo:

y 2 R 2 + z 2 c 2 = 1 = > y 2 = R 2 1 - z 2 c 2 = R 2 1 - z 2 R 2 - r 2 h 2 R 2 = R 2 - R 2 - r 2 h 2 z 2

= > V = π ∫ - h h R 2 - R 2 - r 2 h 2 z 2 d z = π R 2 z - 1 3 R 2 - r 2 h 2 z 3 | - h h =

= 2 π R 2 h - 1 3 R 2 - r 2 h = 2 π 2 R 2 h 3 + r 2 h 3 = 4 3 π R 2 h + 2 3 π r 2 h

Passo 2

Se r = R, teremos que:

V = 2 π R 2 h

Que é o volume de um cilindro de raio R e altura 2h.

E se r = 0 e h = R:

V = 4 3 π R 3

Que é o volume de uma esfera de raio R.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.