Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação - Capítulo 5.Revisão - Ex. 24a

Uma bolinha furada desliza ao longo de uma barra de comprimento L. A barra está girando em plano vertical a uma velocidade angular constante ω em torno de um pino P fico no ponto médio da barra, mas a forma do pino permite que se movimente ao longo de toda a barra. Seja r t a posição da bolinha furada relativa ao eixo de coordenadas que está girando, como mostra a figura 5.R.2. Para aplicar a segunda lei de Newton a esse sistema de referência móvel, é necessário usar o fato de que a força resultante que age sobre a bolinha é a soma da força real (nesse caso, a força da gravidade) e as forças inerciais (de Coriolis, transversal e centrifuga). A matemática é um pouco complicada, vamos somente dar a equação diferencial resultante para r :

m d 2 r d t 2 = m ω 2 r - m g   s e n ω t

  1. Resolva equação diferencial sujeita às condições iniciais r 0 = r 0 ;     r ' 0 = v 0
  2. Determine as condições iniciais para as quais a bolinha exibe um movimento harmônico simples. Qual é o comprimento mínimo L da barra que pode ser conciliado com um movimento harmônico simples da bolinha?
  3. Para condições iniciais diferentes das que foram obtidas no item b), a bolinha cedo ou tarde voará para fora da barra. Explique, usando a solução r t do item a)
  4. Suponha que o comprimento da barra seja L = 40   p é s .   para cada par de condições iniciais do item d), use um aplicativo que determina raízes para encontrar o tempo total que a bolinha permanece na barra.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

m d 2 r d t 2 = m ω 2 r - m g   s e n ω t

r ' ' - ω 2 r = - g   s e n ( ω t )

Passo 2

Sabemos que uma equação diferencial linear, não homogênea de coeficientes constantes e de segunda ordem, admite como solução geral é a soma da solução transiente x h com a solução estacionário x p . Sendo, portanto r t = r p + r h

Para r h :

r ' ' - ω 2 r = 0

Façamos r = e λ t ;     r ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - ω 2 = 0

λ 2 - ω 2 = 0

λ = ± ω

Logo:

r h t = c 1 e ω t + c 2 e - ω t

Onde c 1 e c 2 são definidos pelas condições iniciais.

r 0 = r 0 = c 1 + c 2

r ' 0 = v 0 = c 1 ω - ω c 2 = ω c 1 - c 2

c 1 + c 2 = r 0

c 1 - c 2 = v 0 ω

Logo

c 1 = v o ω + r 0

E

c 2 = r 0

E:

r o = v 0 ω

Logo:

r h t = v 0 ω + r 0 e ω t + r 0 e - ω t

Passo 3

Para r p :

r ' ' - ω 2 r = - g   s e n ω t

Sabemos que em um espaço vetorial de dimensão 2, existem infinitos vetores linearmente independentes, assim criemos uma função y   participante do mesmo espaço vetorial. Então

o ' ' - ω 2 0 = - g cos ⁡ ω t

De forma que podemos fazer uma função z = o + i r

z ' ' - ω 2 z = - g   e i ω t

Façamos z = C   e i ω t ;     z ' ' = C   i ω 2 e i   ω t

C   e i ω t - ω 2 - ω 2 = - g   e i ω t

C = - g - 2   ω 2

Logo:

r p t = C   s e n ω t = g 2 ω 2   s e n ω t

E portanto:

r t = r h t + r p t

r t = v 0 ω + r 0 e ω t + r 0 e - ω t + g 2 ω 2   s e n ( ω t )

Ou

r t = r 0 2 e ω t + e - ω t + g 2 ω 2   s e n ( ω t )

Resposta

r t = r 0 2 e ω t + e - ω t + g 2 ω 2   s e n ( ω t )

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