1 - x' = x + y + t, y' = 4x - 2y; x(0) = 1, y(0) = 0

Passo 1

O erro no método de Euler e no método de Runge-Kutta é diferente. Basicamente, o erro no método Euler é superior ao método Runge-Kutta de ordem superior. Como no método de ordem superior, o erro de truncamento é menor.

Passo 2

O problema do valor inicial em uma notação vetorial pode ser escrito como,

d d t x y = x + y + t 4 x - 2 y , x 0 = 1 0

  1. A fórmula de Euler é,
  2. x n + 1 y n + 1 = x n y n + h x n + y n + t n 4 x n - 2 y n

    Isso é,

    x n + 1 = x n + h x n + y n + t n

    y n + 1   = y n + h ( 4 x n - 2 y n )

    Com h = 0,1 obter valores são os seguintes:

    Passo 3

  3. O método Runge-Kutta inclui os seguintes cálculos:

    k n + 1 = x n + y n + t n , 4 x n - 2 y n T

    k n 2 = x n + h 2 k n 1 2 + y n + h 2 k n 1 2 + t n + h 2 , 4 x n + h 2 k n 1 2 - 2 y n + h 2 k n 1 2

    k n 3 = x n + h 2 k n 2 2 + y n + h 2 k n 2 2 + t n + h 2 , 4 x n + h 2 k n 2 2 - 2 y n + h 2 k n 2 2

    k n 4 = x n + h k n 3 2 + y n + h k n 3 2 + t n + h , 4 x n + h k n 3 2 - 2 y n + h k n 3 2

    Com h = 0,2 , os valores obtidos são os seguintes:

    Passo 4

Com  h = 0,1 , os valores obtidos são os seguintes:

A solução exata do problema do valor inicial é:

Resposta

a)

b)

c)

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