Enunciado

Se C for uma curva lisa por partes de (1, 2, 3) a (4, 5, 6), então

Passo 1

Antes de começar a resolver a questão, nós temos que relembrar que o integrando da integral pode ser expresso como F · dr, onde F é o campo vetorial. Assim, podemos escrever a integral como:

∫ C   F x , y , z * d r =   ϕ ( x 1 , y 1 , z 1 ) -   ϕ x 0 , y 0 , z 0               ( 1 )

Passo 2

O símbolo 𝜙 representa a Função Potencial, para obtermos ela, iremos individualmente fazer uma derivada parcial e integrar a função dada ( d x + 2   d y + 3 d z )

d f f x = 1       →   ∫ d x = x + A ( y , z )

d f f y = 2       → ∫ 2   d y = 2 y + B ( x , z )

d f f z = 3       → ∫ 3   d z = 3 z + C ( x , y )

Os termos A ( y , z ) , B ( x , z ) e C ( x , y ) surgiram porque fizemos derivadas parciais, até aí tudo certo né? Mas como vamos relacionar o resultado das três integrais, tem alguma possibilidade de termos F(x,y,x) = x + 2y + 3z + ... ?

Simmm, isso porque nós temos os termos A, B e C desconhecidos.

E por fim, temos que colocar a constante K de integração, logo:

ϕ = x   +   2 y   +   3 z + K

Passo 3

O último passo é substituir 𝜙 na equação (1), considerando ( x 1 , y 1 , z 1 ) = (4, 5, 6) e ( x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 2, 3), temos:

4   + 2 5 +   3 6 + K = 1   +   2 2 +   3 3 + K         →       k = 18

Viu como foi fácil? Topa resolver mais uma questão?

Resposta

18

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