Caça ao submarino Dois navios em manobras estão tentando determinar o curso e a velocidade de um submarino para preparar uma interceptação aérea. Como mostrado aqui, o navio A está localizado em (4,0, 0) , enquanto o navio B está localizado em (0,5, 0) . Todas as coordenadas são fornecidas em milhares de pés. O navio A localiza o submarino na direção do vetor 2 * i + 3 * j - (1/3) * k , e o navio B o localiza na direção do vetor 18 * i → - 6 * j → - k → . Quatro minutos antes, o submarino estava localizado em (2, -1, -1/3) . A aeronave deve chegar em 20 minutos. Presumindo que o submarino se mova em linha reta em uma velocidade constante, para qual posição os navios deveriam direcionar a aeronave?

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem?

Estamos iniciando a seção de exercícios avançados e o primeiro já tá daquele jeito, né? Mas não se preocupe, vem comigo que nós vamos detonar essa questão.

Primeiro, vamos tentar entender o que está acontecendo. Os dois navios deram direções diferentes para o submarino, mas essa direção não é em relação à origem e sim em relação a cada submarino. Além disso, o enunciado diz, por exemplo, que o navio A localiza o submarino na direção do vetor 2 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k → . Isso não quer dizer que o submarino está exatamente na ponta desse vetor, apenas na direção dele.

Então, entre o submarino e o navio A , temos um vetor que é proporcional a 2 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k → . Assim, em relação a origem, a localização do submarino vai ser a soma do vetor que localiza o navio A ( 4 i → ) mais um vetor proporcional a 2 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k → :

S → = 4 i → + t ( 2 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k → ) = ( 4 + 2 t ) i → + 3 t j → - ( 1 / 3 ) t k →

Da mesma forma, para os dados do navio B , nós obtemos

S → = 5 j → + s ( 18 i → - 6 j → - k → ) = 18 s i → + ( 5 - 6 s ) j → - s k →

Passo 2

Bom, no passo anterior, nós conseguimos o vetor que localiza o submarino, em relação a origem, de duas formas diferentes. Claro que as duas tem que ser iguais, então podemos igualar cada componente:

x : 4 + 2 t = 18 s

y :   3 t = 5 - 6 s

z :   ( 1 / 3 ) t = s ⇒ t = 3 s

Substituindo t = 3 s na equação de y , ficamos com

3 t = 5 - 6 s ⇒ 9 s = 5 - 6 s

⇒ 15 s = 5 ⇒ s = 1 / 3

Como t = 3 s ⇒ t = 1 e o vetor do submarino vai ser

S → = 4 i → + t ( 2 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k → ) = 6 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k →

Já que esse vetor é dado em relação à origem, quer dizer que o submarino estava no ponto S = ( 6,3 , - 1 / 3 ) . Guarda essa informação.

Passo 3

O enunciado também falou que quatro minutos antes o submarino estava no ponto P = ( 2 , - 1 , - 1 / 3 ) . Quer dizer, que ele andou seguindo a direção do vetor

P S → = S - P = ( 6,3 , - 1 / 3 ) - ( 2 , - 1 , - 1 / 3 ) = 4 i → + 4 j →

O helicóptero vai chegar em 20 min, que é 5 vezes mais tempo que os 4 minutos. Ou seja, o submarino vai percorrer uma distância 5 vezes maior ( 5 P S → ). Então, em 20 min, o submarino sai do ponto S = ( 6,3 , - 1 / 3 ) e vai até

S → ' = S → + 5 P S → = 6 i → + 3 j → - ( 1 / 3 ) k → + 20 i → + 20 j → = 26 i → + 23 j → - ( 1 / 3 ) k →  

Como esse ponto é dado em relação à origem, então ele chega no ponto ( 26,23 , - 1 / 3 ) .

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Resposta

( 26,23 , - 1 / 3 )