Enunciado

Em cada parte, associe a equação diferencial com o campo de direções e explique o seu raciocínio.

(a) y’ = 1/x

(b) y’ = 1/y

(c) y’ = e^−x2

(d) y’ = y^2 – 1

(e) y’= (x+y)/(x-y)

(f) y’ = (sen x)(sen y)

Passo 1

Fala galera, essa questão é moleza de entender, acredita?

De tão fácil, nós vamos resolver só olhando individualmente os campos de direções fornecidos e comparando com as equações.

Passo 2

O campo de direção I), por exemplo, tem direções positivas e negativas em cada quadrante. Também percebemos que as direções em um mesmo quadrante são diferentes, ou seja, não é um evento periódico, logo, eliminamos as equações com funções trigonométricas, além disso, por não serem constantes, podemos afirmar que a equação solução desse campo depende de duas variáveis “x” e “y”. Assim, a equação correspondente ao campo de direção I) é e)

Continuando, o campo de direção II) é claro uma solução de equilíbrio, ou seja, o ângulo de inclinação é zerado quando y = ±1. Olhando as equações que são zeradas nessa condição, ainda temos c), d) e f), no entanto, o sinal do campo de direção muda se y ≠ ±1, assim, só a equação d) é correspondente.

O campo de direção III) é periódico e tem solução de equilíbrio quando a variável “y” é zerada, ou seja, sugere que a equação correspondente seja uma função trigonométrica, logo, equação f).

Passo 3

Utilizando a mesma estratégia, vamos analisar o campo e direção IV), percebemos que a inclinação depende apenas da variável “x” e que tende a ser positiva se x > 0 e tende a ser negativa se x

Quase finalizando, temos o campo de inclinação V) que tem sempre uma inclinação positiva, como só restam as equações b) e c), fica fácil perceber que a equação que corresponde à inclinação é a b)

E por fim, o campo de inclinação VI) é claramente originado da equação c) porque percebe-se que o sinal da inclinação muda exclusivamente com o valor de “y”, sendo positivo se y>0 e negativo se y

Resposta

a) → IV

b) → V

c) → VI

d) → II)

e) → I)

f) → III)

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