Em cada um dos Problemas de 11 a 16 verifique que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determine seu wronskiano.

y 4   +   y "   =   0 ;           1 ;     t ;   c o s   t ,   s e n   t

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Dada minha EDO temos:

y 4   +   y "   =   0

Vamos ter que testar cada possível soluções para confirmar se realmente é solução da minha EDO.

Lembrete que y 4   (   s i g n i f i c a   a   q u a r t a   d e r i v a d a   )

Para Y = 1

Obtendo a primeira derivada:

y ' x = 0

Obtendo a segunda derivada:

f " ( x ) = 0

Lembra que a derivada de uma constante sempre será zero.

Substituindo da EDO

y 4   +   y "   =   0

0     + 0     =   0

0     =   0

Logo 1 é solução da EDO.

Passo 2

Para Y = t

Obtendo a primeira derivada:

y ' x = 1

Obtendo a segunda derivada:

f " ( x ) = 0

Lembra que a derivada de uma constante sempre será zero.

Substituindo da EDO

y 4   +   y "   =   0

0     + 0     =   0

0     =   0

Até aí tranquilo?

Continua por aqui, beleza!

Passo 3

Para Y   =   c o s   t  

Obtendo a primeira derivada:

y ' x = - s e n   t

Obtendo a segunda derivada:

f " ( x ) = - c o s t  

Obtendo a terceira derivada:

f ' ' ' x = s e n t

Obtendo a quarta derivada:

f ' ' ' x = c o s t  

Lembra que a derivada de uma constante sempre será zero.

Substituindo da EDO

y 4   +   y "   =   0

c o s t   - c o s t       =   0

0     =   0

Até aí tranquilo?

Continua por aqui, beleza!

Bora lá então!

l i m ⁡ n → ∞ | x - 2 n + 1 | | x - 2 n |

l i m ⁡ n → ∞   x - 2 = | x - 2 |

Observamos que o raio converge para x - 2   < 1 , mais diverge p a r a   x = 1   e   x = 3

Passo 4

Para determinar o Wronskiano devemos encontrar o determinante da matriz:

  W ( 1 ,   t ,   c o s   t , s i n   t )   =   1   .

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

T o d a s   a s   f u n ç õ e s   s ã o   s o l u ç ã o   p a r a   a     E D O

W ( 1 ,   t ,   c o s   t , s i n   t )   =   1