Em cada um dos Problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma serie cujo termo geral envolve x n .

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n

Passo 1

Oi galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolve mais uma questão!

Afiados em Serie de Taylor?

Bora lá começar então!

Dada nossa expressão:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n

Vou colocar o x do segundo termo dentro do somatório, logo a danadinha ficará assim :

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1

Agora vou deslocar o índice do primeiro termo:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 =   ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) a k + 1 x k

Observe que desloquei o índice e ainda definir k   =     n - 1

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Vou fazer o mesmo procedimento com o segundo termo da minha série, tranquilo!

Agora vou deslocar o índice do segundo termo:

∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 =   ∑ k = 1 ∞ a k - 1 x k

Observe que desloquei o índice e ainda definir k   =     n + 1

Hora crucial!

Vamos juntar nossas expressões:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 =   ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) a k + 1 x k

∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 =   ∑ k = 1 ∞ a k - 1 x k

Realizado a soma:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n

Temos que:

a 1 +   ∑ n = 1 ∞ [ ( n + 1 ) a n + 1 +   a n - 1 ] x n

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

a 1 +   ∑ n = 1 ∞ [ ( n + 1 ) a n + 1 +   a n - 1 ] x n