Em cada um dos Problemas de 27   a   30 e dada uma função em um intervalo 0   <   x   <   L .

a) Esboce os gráficos das extensões periódicas par g ( x ) e ímpar   h ( x ) de períodos 2 L da função dada em um intervalo de três períodos.

b) Encontre as series de Fourier em cossenos e em senos da função dada.

c) Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada serie.

d) Para cada serie. Investigue a dependência em n do erro máxima em [ 0 , L ]

  f x = x ,     0 < x < 1 0 ,     1 < x < 2

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver esse longo exercício?

Inicialmente vamos lembrar que:

Se f é uma função par, então a série de Fourier de f coincide com a série de Fourier em cosseno:

f x = L 2 + 2 L π ² ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) ² cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) π x L )

Se f é uma função ímpar, então a série de Fourier de f coincide com a série de Fourier em seno:

f x = 2 L π ² ∑ m = 1 ∞ ( - 1 ) m + 1 m sen ⁡ ( m π x L )

Para plotar nossa extensão periódica par de f com L= 1 , temos que :

S n = 1 2 + 2 π ² ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) ² cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) π x 1 )

Nosso gráfico ficará assim:

Variando os eixos de x   [   - 2,2 ] e y   [   0,1 ]

Para plotar nossa extensão periódica ímpar de f com L= 1 , temos que :

S n = 1 2 + 2 π ² ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) ² cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) π x 1 )

Nosso gráfico ficará assim:

Variando os eixos de x   [   - 2,2 ] e y   [   - 1 , 1 ]

Passo 2

Neste item vamos encontrar a série de Fourier par e impar para a função dada. Beleza!

Para expansão Par teremos:

a 0 = 2 2 ∫ 0 1 x d x = 1 2

a n = 2 2 ∫ 0 1 x c o s n π x 2 d x = [ 2 x n π sin ⁡ n π x 2 +   4 n ² π ² c o s n π x 2 ] 1 0

a n =   2 n π sin ⁡ n π 2 +   4 n ² π ² c o s n π 2 - 4 n ² π ²  

Ou

g x = 1 4 +   ∑ 1 ∞ 4 cos ⁡ n π 2 + 2 n π s e n n π 2 - 4 n ² π ² cos ⁡ n π x 2

Para expansão ímpar teremos:

b n = 2 2 ∫ 0 1 x s i n n π x 2 d x = [ - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 +   4 n ² π ² s e n n π x 2 ] 1 0

b n =   - 2 n π cos ⁡ n π 2 +   4 n ² π ² s e n n π 2  

Ou

h x =   ∑ 1 ∞ 4 sen ⁡ n π 2 - 2 n π c o s n π 2 - 4 n ² π ² sen ⁡ n π x 2

Passo 3

Neste item vamos plotar algumas partes das somas parcial das séries encontrada. Tranquilo!

Para a expansão Par g(x) teremos:

Para a expansão ímpar h(x) teremos:

Até aí tranquilo?

Passo 4

Quase acabando. UFA!

O erro máximo não se aproxima de zero em nenhum dos casos, devido ao fenômeno de Gibb. Observe que os coeficientes ambas as séries se comportam como 1 / n quando n   →   ∞ já que existe um n no numerador.

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

Par

g x = 1 4 +   ∑ 1 ∞ 4 cos ⁡ n π 2 + 2 n π s e n n π 2 - 4 n ² π ² cos ⁡ n π x 2

Ímpar

h x =   ∑ 1 ∞ 4 sen ⁡ n π 2 - 2 n π c o s n π 2 - 4 n ² π ² sen ⁡ n π x 2