Enunciado

Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.

t y ' ' - 1 + t y ' + y = t 2 e 2 t ,     t > 0 ;       y 1 t = 1 + t (veja o Problema 15)

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método do problema 28, que se baseia em reduzir nossa equação não homogênea em uma equação de ordem inferior para conseguirmos encontrar a solução geral, partindo que já temos nossa y 1 t

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar rearranjando nossa equação. Se dividirmos toda ela por t 2 , teremos que

y ' ' - 1 + t t y ' + 1 t ⋅ y = t ⋅ e 2 t

Agora supondo y = y 1 t ⋅ v t e substituindo na EDO, vamos ter que:

1 + t ⋅ v ' ' + 2 - t - 1 1 + t 2 ⋅ v ' = t ⋅ e 2 t

Aplicando uma redução, chamando v ' = w , teremos que

1 + t ⋅ w ' + 2 - t - 1 1 + t 2 ⋅ w = t ⋅ e 2 t

w ' + 2 1 + t - 1 + 2 t + t 2 1 + t ⋅ t ⋅ w = t t + 1 ⋅ e 2 t

w ' + 2 t 1 + t - 1 + 2 t + t 2 1 + t ⋅ t ⋅ w = t t + 1 ⋅ e 2 t

w ' - 1 + t 2 1 + t ⋅ t ⋅ w = t t + 1 ⋅ e 2 t

O método para resolvermos essa EDO será usando um fator integrante, na qual

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ - 1 + t 2 1 + t ⋅ t d t = t - 1 ⋅ 1 + t 2 ⋅ e - t

Multiplicando o fator integrante na equação e integrando de ambos os lados, vamos chegar que

t - 1 ⋅ 1 + t 2 ⋅ e - t ⋅ w ' - t - 1 ⋅ 1 + t 2 ⋅ e - t ⋅ 1 + t 2 1 + t ⋅ t ⋅ w = t t + 1 ⋅ e 2 t ⋅ t - 1 ⋅ 1 + t 2 ⋅ e - t

t - 1 ⋅ 1 + t 2 ⋅ e - t ⋅ w ' = t t + 1 ⋅ e 2 t ⋅ t - 1 ⋅ 1 + t 2 ⋅ e - t

w = t 2 ⋅ e 2 t + c 1 ⋅ t ⋅ e t 1 + t 2

Como w = v ' = t 2 ⋅ e 2 t + c 1 ⋅ t ⋅ e t 1 + t 2 , teremos que ao integrar novamente, vamos chegar em

v = e 2 t 2 - e 2 t t + 1 + c 1 e t t + 1 + c 2

Multiplicando todo v por y 1 vamos chegar que nossa solução será

y t = t - 1 e 2 t 2 + c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ t + 1

Resposta

y t = t - 1 e 2 t 2 + c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ t + 1

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