Em cada um dos Problemas de 34 a 37 , use o método do Problema 33 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada:

x²y + xy' + (X² - 0.25)y = 0, x > 0; y₁(x) = x^(-1/2) sen x

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício!

Bora lá começar então!

Inicialmente para resolver esse problema vamos aplicar o método de redução de ordem aplicados nas questões anteriores desta seção. Tranquilo!

Para aplicar este método vou definir que y   = v y 1

Logo:

y   ( x )   =   v x - 1 / 2   s e n   x

Derivando a primeira vez em relação a   x :

y ' x =   v ( x - 1 2   c o s   x - 1 2 x - 3 2 s e n x   ) + (   x - 1 2 s e n x ) v '    

Derivando pela segunda vez em relação a x   :

y ' ' x =   v ' ' x - 1 2   s e n   x + 2 v ' x - 1 2   c o s   x - 1 2 x - 3 2 s e n x + v ( - x 1 2 x - 1 2 s e n x - 1 2 x - 3 2 c o s x + 3 4 x - 5 2 s e n x - 1 2   x - 3 2   c o s x ) v  

Substituindo os valores calculados na nossa EDO descrita obtemos:

x ² y "   +   x y '   +   ( X ²   —   0.25 ) y   =   0

x 2 [   v ' ' x - 1 2   s e n   x + 2 v ' x - 1 2   c o s   x - 1 2 x - 3 2 s e n x + v - x 1 2 x - 1 2 s e n x - 1 2 x - 3 2 c o s x + 3 4 x - 5 2 s e n x - 1 2   x - 3 2   c o s x v   ] +   x [ v ( x - 1 2   c o s   x - 1 2 x - 3 2 s e n x   ) + (   x - 1 2 s e n x ) v ' ] +   ( X ²   —   0.25 ) v x - 1 / 2   s e n   x   =   0

Uma monstruosidade em forma de equação diferencial!

Vamos deixar essa EDO mais atrativa simplificando a mesma?

Simplificando em termos de v ' e   v "   teremos:

v " ( x 3 2 s e n x ) + v ' ( 2 x 3 2 c o s x -   x 1 2 s e n x + x 1 2 s e n x ) + v ( - x 3 2 s e n x +   x 3 2 s e n x - 1 2 x 1 2 c o s x -   1 2 x 1 2 c o s x +   x 1 2 c o s x + 3 4 x - 1 2 s e n x - 1 2 x - 1 2 s e n x -   1 4 x - 1 2 s e n x   ) = 0

Simplificando ainda mais e eliminando os termos iguais e opostos a equação ficará assim:

v " x 3 2 s e n x + 2 v ' x 3 2 c o s x = 0  

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Para resolver esta EDO vou primeiro fazer algumas substituições. Beleza!

v ' = u x

v " = u ' ( x )

Então nossa EDO será:

d u d x x 3 2 s e n x + 2 u x 3 2 c o s x = 0  

Hora Crucial!

Vou utilizar o método de separação de varieis para encontrar a solução desta EDO.

d u d x x 3 2 s e n x = - 2 u x 3 2 c o s x

∫ d u d u =   - 2 ∫ c o s x s e n x d x

ln ⁡ u =   - 2 ln ⁡ s i n x + C

u =   C 0 (   s i n x ) - 2

Onde C 0 =   e C

Voltando para nossa verdadeira variável ou seja u   p a r a   v ’

d v d x = C 0 s e n x ²

Até aí tranquilo?

Quase acabando continua por aqui, beleza!

Que também podemos separar e integrar, produzindo:

d v d x = C 0 s e n x ²

v = C 0 ∫ 1 s e n x ² d x

Vou utilizar uma substituição trigonométrica 1 s e n x ² = c s c x para resolver essa integral. Tranquilo!

v = C 0 ∫ c s c ² x d x

v = C 0 ( - c o t x )

Fazendo - C 0 =   C 1

v = C 1 ( c o t x )

Agora voltaremos ao nosso ponto de partida!

y 2 = v y 1

Logo:

y 2 = C 1 c o t x ( x - 1 2 s e n x )

Sabendo que c o s x s e n x = c o t x , teremos

y 2 = C 1 ( x - 1 2 c o s x )

Finalmente, descartando a constante arbitrária, ficamos com:

y 2 = ( x - 1 2 c o s x )

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

y 2 = ( x - 1 2 c o s x )