Enunciado

Em cada um dos Problemas 41 e 42, mostre que o ponto x = 0 é um ponto singular regular. Tente, em cada problema, encontrar soluções da forma ∑ n = 0 ∞ a n x n . Mostre que (exceto por múltiplos constantes) existe apenas uma solução não nula dessa forma para o Problema 41 e que não existem soluções não nulas dessa forma para o Problema 42. Assim, em nenhum dos casos a solução geral pode ser encontrada desse modo. Isso é típico de equações com pontos singulares.

41.

2 x y ' ' + 3 y ' + x y = 0

Passo 1

Fala galera!!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial:

2 x y ' ' + 3 y ' + x y = 0

Nessa questão, queremos mostrar que x = 0 é um ponto singular regular e existe apenas uma solução não nula da forma ∑ n = 0 ∞ a n x n .

Passo 2

Para resolver essa questão, é bom ter em mente que um ponto  x 0 é um ponto singular de

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Se P x = 0 e Q x ou R x for diferente de zero. Se  x 0 é um ponto singular, ele será um ponto singular regular se:

p 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x

e

q 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 R x P x

são ambos finitos.

Passo 3

Agora, vamos mostrar primeiro que o ponto x = 0 é um ponto singular. Assim, para a equação diferencial

2 x y ' ' + 3 y ' + x y = 0

Temos que:

P x = 2 x → P 0 = 2 0 → P 0 = 0

Q x = 3 → Q 0 = 3

R x = x → R 0 = 0 → R 0 = 0

Assim  x = 0 é um ponto singular.

Agora, vamos mostrar que x = 0 também é um ponto singular regular calculando  p 0 q 0 . Assim temos:

p 0 = lim x → x 0 ⁡ x 3 2 x = lim x → x 0 ⁡ 3 2 = 3 2

q 0 = lim x → x 0 ⁡ x x 2 x = lim x → x 0 ⁡ x 2 = 0

Temos que ambos são finitos, assim  x = 0 é um ponto singular regular.

Passo 4

Agora, vamos tentar encontra uma solução na forma de série de potencia. Vamos supor que y seja a seguinte série de potencia

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ a n x n

e vamos supor que a série converge em algum intervalo | x | < ρ . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n a n x n - 1 + … = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Diferenciando mais uma vez, temos:

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + … + n n - 1 a n x n - 2 + … = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Passo 5

Agora, vamos substituir os resultados encontrados ( y ' ' ,   y ' e   y ) na equação diferencial fornecida, assim temos:

2 x y ' ' + 3 y ' + x y = 0

2 x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 3 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Para combinar as três séries, precisamos colocar x dentro do somatório, para isso podemos fazer da seguinte maneira:

∑ n = 2 ∞ 2 n n - 1 a n x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 n a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Para combinar as três séries, precisamos reescrever elas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral x n . Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo n por n + 1 e começando a soma em 1 em vez de 2 , e também, mudamos o índice do somatório na segunda série substituindo n por n + 1 e começando a soma em 0 em vez de 1 e mudamos o índice do somatório na terceira série substituindo n por n - 1 e começando a soma em 1 em vez de 0 . Assim temos:

∑ n + 1 = 2 ∞ 2 n + 1 n + 1 - 1 a n + 1 x n + 1 - 1 + ∑ n + 1 = 1 ∞ 3 n + 1 a n + 1 x n + 1 - 1 + ∑ n - 1 = 0 ∞ a n - 1 x n - 1 + 1 = 0

∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n = 0

Podemos retira o termo 0 do seguindo somatório para podemos junta-los. Assim temos:

∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1 a n + 1 x n + 3 a 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n = 0

Agora que os somatórios começar do mesmo termo, podemos junta-los da seguinte maneira:

3 a 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1 a n + 1 x n + 3 n + 1 a n + 1 x n + a n - 1 x n = 0

3 a 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 n n + 1 a n + 1 + 3 n + 1 a n + 1 + a n - 1 x n = 0

Passo 6

Para que a equação acima seja satisfeita para todo x , é preciso que o coeficiente de cada potência de x seja nulo. Logo, podemos concluir que:

3 a 1 = 0                                       n = 0

2 n n + 1 a n + 1 + 3 n + 1 a n + 1 + a n - 1 = 0                         n =   1 ,   2 ,   3 ,   …

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

2 n n + 1 + 3 n + 1 a n + 1 + a n - 1 = 0                       n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

2 n + 3 n + 1 a n + 1 + a n - 1 = 0                       n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

2 n + 3 n + 1 a n + 1 = - a n - 1                       n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 1 = - a n - 1 n + 1 2 n + 3                         n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Rescrevendo isso, temos:

a n = - a n - 2 n 2 n + 1                         n = 2 ,   3 ,   …

Passo 7

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para n = 2 , depois para n = 3 , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para n = 2

a 2 = - a 0 2 ⋅ 5

Para n = 3

a 3 = - a 1 3 ⋅ 7 = - 1 3 ⋅ 7 ⋅ 0 = 0

Para n = 4

a 4 = - a 2 4 ⋅ 9 = - 1 4 ⋅ 9 ⋅ - a 0 2 ⋅ 5 = a 0 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 9

Para n = 5

a 5 = - a 3 5 ⋅ 11 = - 3 5 ⋅ 11 ⋅ 0 = 0

Passo 8

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em y . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + …

y = a 0 + 0 x - a 0 2 ⋅ 5 x 2 + 0 x 3 + a 0 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 9 x 4 + 0 x 5 + … + - a n - 2 x n 2 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ n 2 n + 1 + …

y = a 0 - a 0 2 ⋅ 5 x 2 + a 0 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 9 x 4 + … + - 1 n a 0 ∏ k = 1 n 2 k 4 k + 1 x 2 n + …

y = a 0 1 - x 2 2 ⋅ 5 + x 4 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 9 + … + - 1 n x 2 n ∏ k = 1 n 2 k 4 k + 1 + …

y = a 0 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ∏ k = 1 n 2 k 4 k + 1

Aqui, a 0 é uma constante arbitraria.

Portanto, a solução necessária é:

y x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ∏ k = 1 n 2 k 4 k + 1

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ∏ k = 1 n 2 k 4 k + 1

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