Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6,determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 e t = 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta; veja osProblemas de 1a 6 da Seção 8.3. Compare os resultados dos vários métodos entre si e com a solução exata (se disponível).

(a) Use o método de previsão ecorreção de quarta ordem comh=0,1. Use a fórmula de correção uma vez em cada passo.

(b) Use o método de Adam-Moulton de quarta ordem com h = 0,1.

(c) Use o método inverso de diferenciação de quarta ordem com h = 0,1.

4. y ' = 2 t + e - t y ,     y 0 = 1

Passo 1

a) Vamos começar usando a notação f n = f ( t n , y n ) .

Desse modo, a fórmula do método preditor vai ficar assim...

y n + 1 = y n + h 24 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

Já no caso da fórmula de correção com f n + 1 = f ( t n + 1 , y n + 1 ) ... Temos que:

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Usando os valores iniciais gerados pelo método de R u n g e - K u t t a . No caso peguemos os valores da figura abaixo do código que fizemos na S e ç ã o   3 para essa mesma E D O com passo h = 0.1 ;

Para o método preditor com t n = 0.40 ...

y n + 1 = y n + h 24 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

Sendo que...

f n = 2 ⋅ 0.30 + e - 0.30 ⋅ 1.37328 = 1.26233

f n - 1 = 2 ⋅ 0.20 + e - 0.20 ⋅ 1.24001 = 1.18036

f n - 2 = 2 ⋅ 0.10 + e - 0.10 ⋅ 1.15557 = 1.09087

f n - 3 = 2 ⋅ 0 + e - 0 ⋅ 1.0000 = 1.0000

Obtemos que...

y n + 1 = 1.37328 + 0.1 24 55 ⋅ 1.26233 - 59 ⋅ 1.1806 + 37 ⋅ 1.09087 - 9 ⋅ 1.0

y n + 1 = 1.502113

Passo 2

No caso do método corretor, temos que para t n = 0.4 ...

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Com...

f n + 1 = 2 ⋅ 0.40 + e - 0.40 ⋅ 1.37238 = 1.502113

f n = 2 ⋅ 0.30 + e - 0.30 ⋅ 1.37328 = 1.26233

f n - 1 = 2 ⋅ 0.20 + e - 0.20 ⋅ 1.24001 = 1.18036

f n - 2 = 2 ⋅ 0.10 + e - 0.10 ⋅ 1.15557 = 1.09087

Chegamos ao seguinte resultado:

y n + 1 = 1.37328 + 0.1 24 9 ⋅ 1.502113 + 19 ⋅ 1.26233 - 5 ⋅ 1.18036 + 1.09087

y n + 1 = 1.509498

Passo 3

b) Presta atenção! O método de Adam-Moulton tem a seguinte cara abaixo...

Com f n + 1 = f ( t n + 1 , y n + 1 ) , temos que...

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Até aí tá bem parecido com o método corretor. O diferencial é que...

f n + 1 = 2 t n + 1 + e - t n + 1 y n + 1

E com isso, para t n = 0.4 ... Sabendo dos valores abaixo...

y n = 1.37328

h = 0.1

t n + 1 = 0.5

f n + 1 = 2 ⋅ 0.40 + e - 0.40 ⋅ 1.37238 = 1.502113

f n = 2 ⋅ 0.30 + e - 0.30 ⋅ 1.37328 = 1.26233

f n - 1 = 2 ⋅ 0.20 + e - 0.20 ⋅ 1.24001 = 1.18036

f n - 2 = 2 ⋅ 0.10 + e - 0.10 ⋅ 1.15557 = 1.09087

Alcançamos o resultado para y ( 0.4 ) :

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

y n + 1 = 1.37328 + 0.1 24 ( 9 ⋅ 1.50211 + 19 ⋅ 1.26233 - 5 ⋅ 1.18036 + 1.09087 )

y n + 1 = 1.509498

Passo 4

c) No caso do método inverso de diferenciação de quarta ordem com h   =   0.1 ... Bora fazer;

y n + 1 = 1 25 48 y n - 36 y n - 1 + 16 y n - 2 - 3 y n - 3 + 12 h f n + 1

Só que neste método, o diferencial assim como no método anterior, é que...

f n + 1 = 3 + t n + 1 - y n + 1

O que nos faz ficar, substituindo os valores numéricos que temos com...

y n + 1 = 1 25 48 ⋅ 1.37328 - 36 ⋅ 1.24001 + 16 ⋅ 1.15557 - 3 ⋅ 1.0000 + 12 ⋅ 0.1 ⋅ 1.50211

y n + 1 = 1.509274

Pronto! Obtemos as respostas para cada método considerando apenas uma iteração, com t n = 0.4 .

Resposta

a)

P r e d i t o r → y n + 1 = 1.502113

C o r r e t o r → y n + 1 = 1.509498

b)

y n + 1 = 1.509498

c)

y n + 1 = 1.509274

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