Em cada um dos Problemas de 9 a 16 , determine a série de Taylor da função dada em torno do ponto x o . Determine, tambem, o raio de convergência da série

1 / (1 - x) x0 = 2

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Dada minha função temos:

f ( x ) = 1 1 - x  

Obtendo a primeira derivada:

f ' ( x ) = 1 ( 1 - x   ) ²

Obtendo a segunda derivada:

f " ( x ) = 2 ( 1 - x   ) ³

Agora vou expandir para n derivadas utilizando a série se Taylor:

f n ( x ) = n ! ( 1 - x ) n + 1

Sendo válido para n ≥ 1

Aplicando a serie em torno de x o = 2 , teremos:

f n ( 2 ) = - 1 n + 1 n !

Sendo válido para n ≥ 0

Até aí tranquilo?

Quase acabando continua por aqui, beleza!

Passo 2

Expandindo essa série para x o = 2

1 1 - x   =   1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n   x - 2   n

Agora devemos encontrar o raio de convergência desta série. Beleza!

Bora lá então!

l i m ⁡ n → ∞ | x - 2 n + 1 | | x - 2 n |

l i m ⁡ n → ∞   x - 2 = | x - 2 |

Observamos que o raio converge para x - 2   < 1 , mais diverge p a r a   x = 1   e   x = 3

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

C o n v e r g e   p a r a   x - 2   < 1

Diverge para   x = 1   e   x = 3

Expansão da função

1 1 - x   =   1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n   x - 2   n