Em cada um dos Problemas 5 e 6 Encontre uma fórmula para a solução do problema de valor inicial e observe que ela é independente do lambda . Use o método de Runge-Kutta com h = 0.01 para calcular valores aproximados da solução em 0 < t < 1 para diversos valores de lambda , como lambda = 1, 10, 20 e 50.

y' - λy = 2t - λt², y(0) = 0

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Dada a nossa velha conhecida equação diferencial y ' —   λ y   =   1   —   λ t

Possui uma solução homogênea e já realizada nos exercício anteriores.

Logo:

y t = t 2 - λ t 3 3 λ

Aplicando a condição inicial   y 0 =   0

y 0 = 0 2 - λ 0 3 3 λ + C

C = 0  

Através deste resultado claramente podemos afirmar que y ( t ) não depende de λ

Até aí tranquilo?

Passo 2

Seu resultado na Parte b dependerá do sistema de computador e software específico que você usa. Se houver precisão suficiente, você obterá a solução y   =   t para t em 0   ≤ t ≤ 1   para cada valor de λ   dado, pois não há erro de discretização.

Se não houver precisão suficiente, então o erro de arredondamento afetará seus cálculos. Para valores maiores de λ , a solução numérica divergirá rapidamente da solução exata, y   =   t , para a solução geral y y t = t 2 - λ t 3 3 λ

Onde o valor de c depende do erro de arredondamento.

Te vejo na próxima questão!

Resposta

y ( t ) não depende de λ