Em cada um dos Problemas de 1 a 6 a use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada

y'' + y' = tan(t) 0 < t < pi

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Inicialmente vamos considerar y ' ' + y ' = 0  

Esta equação característica tem em especial três soluções. São elas:

r 3 + r = 0  

r ( r 2 + 1 ) = 0  

r = 0   ; r =   ±   i  

Logo:

y 1 = 1     ; y 2 = c o s t     ; y 3 = sin ⁡ t

Aplicando o método de variações de parâmetros:

y c t = C 1 + C 2 c o s t + C 3 s i n t

y p t = U 1 + U 2 c o s t + U 3 s i n t

Onde U i =   ∫ g t W i ( t ) W ( t ) d t

Sendo g ( t ) =   t a n   t       e   U i =   ( 1,2 , 3 )

Calculando o Wronskiano

W   1   c o s t , s e n t = 1 c o s t s e n t 0 - s e n t c o s t 0 - c o s t - s e n t = 1 . - s e n t c o s t   - c o s t - s e n t = 1  

W   1   c o s t , s e n t = 1

Até aí tranquilo?

Beleza! Vamos continuar então!

W 1   t = 0 c o s t s e n t 0 - s e n t c o s t 1 - c o s t - s e n t = 1 . c o s t s e n t   - s e n t c o s t = 1  

W 2   t = 1 0 s e n t 0 0 c o s t 0 1 - s e n t = 1 . 0 c o s t   1 - s e n t = - c o s t  

W 3   t = 1 c o s t 0 0 - s e n t   0 0 - c o s t   1 = 1 . - s e n t 0   - c o s t 1 = - s e n t  

Agora tenho que voltar e calcular cada:

U i =   ∫ g t W i ( t ) W ( t ) d t

Sendo g ( t ) =   t a n   t       e   U i =   ( 1,2 , 3 )

Preparado?

Afiados em integrais?

Mão na massa então!

U 1 =   ∫ g t W 1 ( t ) W ( t ) d t =   ∫ tan ⁡ t .   1   1 d t = l n ⁡ | sec ⁡ t |

U 2 =   ∫ g t W 2 ( t ) W ( t ) d t =   ∫ tan ⁡ t .   ( - cos ⁡ t   )   1 d t = ∫ - s e n   t d t = cos ⁡ t

U 3 =   ∫ g t W 3 ( t ) W ( t ) d t =   ∫ tan ⁡ t .   ( - sen ⁡ t   )   1 d t = ∫ - s e n 2 t c o s t d t = [ ln ⁡ | sec ⁡ t + tan ⁡ t   | - s e n t ]

Substituindo os valores dos coeficientes e encontrados teremos:

y p t = U 1 + U 2 c o s t + U 3 s i n t

y p t = l n ⁡ | sec ⁡ t | + c o s t   c o s t + [ ln ⁡ | sec ⁡ t + tan ⁡ t   | - s e n t ] s i n t

y p t = l n ⁡ | sec ⁡ t | + c o s ² t + [ ln ⁡ | sec ⁡ t + tan ⁡ t   | - s e n t ] s i n t

Para escrever a solução geral basta:

y p t +   y c t = y t

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

y p t = l n ⁡ | sec ⁡ t | + c o s ² t + [ ln ⁡ | sec ⁡ t + tan ⁡ t   | - s e n t ] s i n t