Para cada real t, seja f(x) = -1/3 * x^3 + t^2 * x e represente m(t) o mínimo de f(x) no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 . Determinar o valor de m(t) para cada t no intervalo -1 ≤ t ≤ 1 . Ter presente que para certos valores de t o mínimo de f(x) pode ocorrer nos pontos extremos do intervalo 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Considerando

f x = - x 3 3 + t 2 x sobre 0 ≤ x ≤ 1

f 0 = 0 ,       f 1 = - 1 3 + t 2 → f 1 ⪑ 0     s e   t 2 ⪑ 1 3  

f ' x =   - x 2 + t 2 = 0

Sendo x 2 = t 2 para x ≥ 0 , se x = │ t │

f x 2 = t 2 = - 1 3 t 2 x + t 2 x = 2 3 t 2 x > 0

Para 1 ≥ x ≥ 0

Então o mínimo não está na parte inferior de [ 0,1 ] esta nos pontos finais,

m t = 0 para │ t │ > 1 3 m t =   - 1 3 + t 2 para │ t │ < 1 3

Resposta

m t = 0 para │ t │ > 1 3 m t =   - 1 3 + t 2 para │ t │ < 1 3