Em cada urn dos Problemas de 21 a 23, use a tecnica discutida no Problem 20 para mostrar que a aproximacäo obtida pelo metodo de Euler converge para a solução exata em qualquer ponto fixo quando h → 0 .

Passo 1

Para y’ = y, temos que a função é igual a sua derivada, obtemos como solução

y = e x

escrevendo a fórmula de Euler y n + 1 = y n + f n h , lembrando que a função f é a função na equação diferencial

d y d t   =   f ( y , t )

isso quer dizer que, no nosso caso, f ( y , t )   =   y , daí

y n + 1 = 1 + h y n

substituindo y n = 1 + h y n - 1 e fazendo o processo n vezes, teremos

y n = 1 + h n y 0

para y 0 = 1 , podemos ainda escrever escolher um h pequeno, de forma que h   =   t / n

y n = 1 + t n n

tomando o limite para n indo ao infinito, cairemos no limite que nos fornece a função exponencial

lim n → ∞ ⁡ y n = l i m n → ∞ 1 + t n n = e t

e conseguimos provar o desejado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)