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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 9º - Capítulo 2.7 - Ex. 22

Em cada urn dos Problemas de 21 a 23, use a tecnica discutida no Problem 20 para mostrar que a aproximacäo obtida pelo metodo de Euler converge para a solução exata em qualquer ponto fixo quando h   → 0 .

Passo 1

Para essa equação diferencial, temos que f y , t = 2 y – 1 e identificamos p   =   - 2

e q   =   1 . Resolvendo pelo método do fator integrante

u = e ∫ p t d t = e - 2 t

segue que as soluções são tais que

y   =   ∫ u t q t d t + C u

e a solução é y   =   1 2   -   e 2 t 2 .

Passo 2

Utilizando da fórmula de Euler: y n + 1 = y n + f n h   .   Utilizando da fórmula

y n + 1 = y n + 2 y n - 1 h = 1 + 2 h y n - h

para n   =   0 : utilizando d a   s u g e s t ã o   d a   q u e s t ã o

y 1 = 1 + 2 h 2   +   1 2

fazendo n   =   1 :

y 2 = 1 + 2 h y 1 - h

substituindo y 1

y 2 = 1 + 2 h 1 + 2 h 2 + 1 2 - h

onde obtemos

y 2 = 1 + 2 h 2 2 + 1 2

se continuarmos o processo, veremos que

y n = 1 + 2 h n 2 + 1 2

Passo 3

Tomando o limite e fazendo h   =   t / n

l i m n   → ∞ y n = l i m n   → ∞ 1 + 2 t / n n 2 + 1 2 = 1 2 e 2 t + 1 2

que é a solução da EDO.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)