Em cada urn dos Problemas de 21 a 23, use a tecnica discutida no Problem 20 para mostrar que a aproximacäo obtida pelo metodo de Euler converge para a solução exata em qualquer ponto fixo quando h → 0 .

Passo 1

Para a equação diferencial em questão, temos f y , t = 1 2 - t + 2 y , vamos resolver a equação pelo método do fator integrante. Podemos identificar p   =   - 2 , que nos leva ao fator integrante

u = e ∫ p t d t = e - 2 t

segue que as soluções são tais que

y   =   ∫ u t q t d t + C u

onde q t = t - 1 2 . Resolvendo e utilizando a condição inicial y 0 = 1 , encontramos facilmente y = e 2 t + t 2 .

Passo 2

Utilizando da fórmula de Euler: y n + 1 = y n + f n h   .   Utilizando da fórmula

y n + 1 = y n + 1 2 - t n + 2 y n h = 1 + 2 h y n + h 2 - h t n

segue que para y 0 = 0 ,   y 1 = 1 + 2 h + h 2 e como h = t 1 - t 0 (definição), e t 0 = 0

y 1 = 1 + 2 h + t 1 2

voltando à fórmula de Euler, para n = 1:

y 2 = 1 + 2 h y 1 + h 2 - h t 1

substituindo y 1

y 2 = 1 + 2 h 1 + 2 h + 1 + 2 h t 1 2 + h 2 - h t 1

manipulando

y 2 = 1 + 2 h 2 + t 1 + h 2

segue que, como t 2 - t 1 = h , temos t 2 = t 1 + h e então

y 2 = 1 + 2 h 2 + t 2 2

se continuarmos o processo, teremos

y n = 1 + 2 h n + t n 2

Passo 3

Vamos agora seguir para a última parte, vamos escolher h como sendo um número pequeno tal que h   =   t n e fazer t n = t . Tomando o limite

lim n  → ∞ ⁡ y n = lim n  → ∞ ⁡ 1 + 2 t n n + t 2 = e 2 t + t 2

como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)