Em cada urn dos Problemas de 21 a 23, use a tecnica discutida no Problem 20 para mostrar que a aproximacäo obtida pelo metodo de Euler converge para a solução exata em qualquer ponto fixo quando .
Passo 1
Para a equação diferencial em questão, temos , vamos resolver a equação pelo método do fator integrante. Podemos identificar , que nos leva ao fator integrante
segue que as soluções são tais que
onde . Resolvendo e utilizando a condição inicial , encontramos facilmente .
Passo 2
Utilizando da fórmula de Euler: Utilizando da fórmula
segue que para e como (definição), e
voltando à fórmula de Euler, para n = 1:
substituindo
manipulando
segue que, como , temos e então
se continuarmos o processo, teremos
Passo 3
Vamos agora seguir para a última parte, vamos escolher h como sendo um número pequeno tal que e fazer . Tomando o limite
como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)