Uma caixa aberta foi construída com um retângulo de cartão, retirando quadrados iguais em cada vértice e dobrando para cima os lados. Achar as dimensões da caixa de maior volume que pode construir-se deste modo se o retângulo tem lados (a) 10 e 10; (b) 12 e 18.

Passo 1

Fala ae, blz?

Para a letra a), vamos desenhar a situação retirando os quadrados dos vértices.

Assim, pelo enunciado temos que L = B = 10.

O cálculo do volume da caixa será:

V c a i x a = A b a s e . h = B - 2 x . L - 2 x . x = 10 - 2 x 2 x  

Passo 2

Para acharmos o Volume máximo, basta derivarmos e igualarmos a zero:

Derivando:

V = 4 x 5 - x 2 → V ' = 4 5 - x 2 + x . - 2 5 - x →

V ' = 4   25 - 10 x + x 2 - 10 x + 2 x 2 = 4 . 3 x 2 - 20 x + 25

Igualando a zero para acharmos os pontos críticos:

V ' = 4 . 3 x 2 - 20 x + 25 = 0 → 3 x 2 - 20 x + 25 =   0 →

∆   = 400 - 4.3 . 25 = 100 → x = 20 ± 10 2.3 → x = 5   o u   x = 5 3

Como a caixa tem lado 10 – 2x, quando x = 5 teremos o volume mínimo (zero), e quando x = 5/3 teremos o volume máximo.

Logo, a dimensão da caixa nesse caso será:

d i m e n s ã o = 10 - 2 x = 10 - 10 3 = 20 3

Passo 3

Para a letra b) o desenho é o mesmo, só muda as dimensões:

L = 12 e B = 18.

O cálculo do volume da caixa será:

V c a i x a = A b a s e . h = B - 2 x . L - 2 x . x = ( 12 - 2 x ) ( 18 - 2 x ) x  

Passo 4

Para acharmos o Volume máximo, basta derivarmos e igualarmos a zero:

Derivando:

V = 18.12 - 24 x - 36 x + 4 x 2 x → V = 18.12 x - 60 x 2 + 4 x 3 →

V ' = 18.12 - 120 x + 12 x 2

Igualando a zero para acharmos os pontos críticos:

V ' = 18.12 - 120 x + 12 x 2 = 0 → x 2 - 10 x + 18 =   0 →

∆   = 100 - 4.1 . 18 = 28 → x = 10 ± 2 7 2 → x = 5 + 7   o u   x = 5 - 7

Como a caixa tem um lado 12 – 2x, quando x = 5 + 7 teremos um volume negativo, o que não faz sentido, portanto, quando x = 5 - 7 teremos o volume máximo.

Logo, a dimensão da caixa nesse caso será:

L = 12 - 2 x = 12 - 2 5 - 7 = 2 + 2 7

B = 18 - 2 x = 18 - 2 5 - 7 = 8 + 2 7

Resposta

a)

D i m e n s ã o   d a   l a r g u r a = 20 3

D i m e n s ã o   d a   b a s e = 20 3

A l t u r a = 5 3

b)

A l t u r a = 5 - 7

D i m e n s ã o   d a   l a r g u r a = 2 + 2 7

D i m e n s ã o   d a   b a s e = 8 + 2 7