Calcular f'(x) se f(x) = (1 + x)^(1/2) * (3 + x^3)^(1/3), x^3 ≠ -3.

Passo 1

Bom, para começar vamos definir f (x) = h ( x ) * g (x) * t ( x ) , onde:

h (x) = 1 + x

g (x) = (2 + x^2)^((1)/(2) )

t (x) = (3 + x^3)^((1)/(3))

Agora vamos aplicar a regra do produto em f ' (x) = ( ( h ( x ) * g (x) ) * t ( x ) )’

Pela regra do produto:

f^' (x) = (h (x) g (x))^' t (x) + ( t ( x ) ) ' ( h (x) g (x) )

Vamos aplicar novamente a regra do produto:

f^' (x) = [ (h (x))^' g (x) + (g (x))^' h (x) ] t (x) + ( t ( x ) ) ' ( h (x) g (x) )

f^' (x) = t (x) g (x) (h (x))^' + t (x) h (x) (g (x))^' + h (x) g (x) (t (x))^'

Acabamos de demonstrar a fórmula para a derivada produto de 3 funções, talvez seja válido anotar ou aprender a demonstrar para futuros casos, irá facilitar.

Agora com essa fórmula fica claro que para chegar em f^' (x) só precisamos achar a derivada de cada função, o resto já temos.

Passo 2

Vamos lá então, começando por: h (x) = 1 + x

(h (x))^' = 1

A parte fácil já foi, vamos agora para:

g (x) = (2 + x^2)^((1)/(2) )

Vamos usar a regra da cadeia (lembra que g (x) é a raiz de (2 + x^2) ).

g^' (x) = (2 x)/(2 sqrt((2 + x^2)))

g^' (x) = (x)/(sqrt((2 + x^2)))

Agora vamos ver t (x) = (3 + x^3)^((1)/(3)) :

t^' (x) = (3 x^2)/(3 ( (3 + x^3)^((2)/(3)))

t^' (x) = (x^2)/((3 + x^3)^((2)/(3)))

Passo 3

Agora basta substituir na fórmula achada

f^' (x) = t (x) g (x) (h (x))^' + t (x) h (x) (g (x))^' + h (x) g (x) (t (x))^'

f^' (x) = [(2 + x^2)^((1)/(2)) (3 + x^3)^((1)/(3))] + [((x)/(sqrt((2 + x^2)))) ((3 + x^3)^((1)/(3))) (1 + x)] + [(1 + x) (2 + x^2)^((1)/(2)) ((x^2)/((3 + x^3)^((2)/(3))))]

Resposta

f^' (x) = [(2 + x^2)^((1)/(2)) (3 + x^3)^((1)/(3))] + [((x)/(sqrt((2 + x^2)))) ((3 + x^3)^((1)/(3))) (1 + x)] + [(1 + x) (2 + x^2)^((1)/(2)) ((x^2)/((3 + x^3)^((2)/(3))))]