Calcular cada um dos integrais seguintes:

11) int_0^((1)/(2)) (8 t^3 + 6 t^2 - 2 t + 5) ⅆ t

Passo 1

Antes de calcularmos a integral definida, calcularemos a integral indefinida:

int 8 t^3 + 6 t^2 - 2 t + 5 d t

Usando a propriedade dos integrais:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

int 8 t^3 ⅆ t + int 6 t^2 ⅆ t - int 2 t ⅆ t + int 5 ⅆ t

Passo 2

Calcularemos a integral indefinida, de cada integral que compõe a expressão, então começaremos agora porque o trabalho é grande:

int 8 t^3 ⅆ t

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: 8 xx (t^4)/(4)

Simplificando, temos: 4 t^4

Partindo pra segunda integral que compõe a expressão:

int 6 t^2 ⅆ t

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: 6 xx (t^3)/(3)

Simplificando, temos: 2 t^3

Partindo pra terceira integral que compõe a expressão:

int 2 t ⅆ t

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: 2 xx (t^2)/(2)

Simplificando, temos: t^2

Partindo pra quarta, e última, (Eu ouvi um Aleluia?!) integral que compõe a expressão:

int 5 ⅆ t

Usando a propriedade que dispõe que: int a ⅆ x = a x .

Temos que, essa integral fica: 5 t

Unindo-as,

2 t^4 + 2 t^3 - t^2 + 5 t

Passo 3

Agora, finalmente, vamos ao último passo, que é adicionar os limites de integração para calcular a integral definida:

((2 t^4 + 2 t^3 - t^2 + 5 t)|_0^((1)/(2))

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

2 * ((1)/(2))^4 + 2 * ((1)/(2))^3 - ((1)/(2))^2 + 5 * ((1)/(2)) - (2 * 0^4 + 2 * 0^3 - 0^2 + 5 * 0)

(1)/(8) + (1)/(4) - (1)/(4) + (5)/(2) - (0) = (1)/(8) + (5)/(2) = (21)/(8)

Resposta

O resultado dessa integral é 21/8. Agora que você já venceu essa gigante, bora encarar mais uma?!