Calcular cada um dos integrais seguintes:

14) int_0^(- 1) (x + 1)^2 ⅆ x

Passo 1

Usando:

int_a^b f (x) ⅆ x = int_b^a - f (x) ⅆ x

Agora, rescreveremos a expressão:

int_(- 1)^0 - (x + 1)^2 ⅆ x

Para calcular a integral definida, primeiro calcularemos a integral indefinida:

int - (x + 1)^2 ⅆ x

Usando a propriedade do integral:

int - f (x) ⅆ x = - int f (x) ⅆ x

Reescrevendo a expressão:

- int (x + 1)^2 ⅆ x

Antes de calcularmos a integral definida, calcularemos a integral indefinida:

- int (x + 1)^2 ⅆ x

Usando (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 para (x + 1)^2 podemos desenvolvê-la como:

- int x^2 + 2 x + 1 d x

Usando a propriedade dos integrais:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

- ( int x^2 ⅆ x + int 2 x ⅆ x + int 1 ⅆ x )

Passo 2

Calcularemos a integral indefinida, de cada integral que compõe a expressão:

A começar por:

int x^2 d x

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: (x^3)/(3)

Indo agora, para a segunda integral:

int 2 u d x

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: (2 x^2)/(2)

Simplificando, temos apenas: x^2

Indo finalmente para última integral:

int 1 d x

Usando a propriedade que dispõe que: int 1 ⅆ x = x .

Temos: x

Unindo-as, temos:

- ((x^3)/(3) + x^2 + x)

Simplificando a expressão matemática, temos:

- (x^3)/(3) - x^2 - x

Passo 3

Agora, finalmente, vamos ao último passo, que é adicionar os limites de integração para calcular a integral definida:

((- (x^3)/(3) - x^2 - x)|_(- 1)^0

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

- (0^3)/(3) - 0^2 - 0 - (- ((- 1)^3)/(3) - (- 1)^2 - (- 1))

Calculando a expressão matemática acima, temos que o resultado é -1/3.

Resposta

O resultado da integral acima, é -1/3.

Agora, Bora pra mais uma?!