Calcular cada um dos integrais seguintes:

15) int_0^2 ( x - 1 ) ( 3 x - 1 ) ⅆ x

Passo 1

Antes de calcular a integral definida, primeiro, calcularemos a integral indefinida:

int (x - 1) (3 x - 1) ⅆ x

Agora, multiplicaremos cada termo dos primeiros parênteses por cada termo dos segundos parênteses, e, simplificando os termos equivalentes, obteremos a seguinte integral:

int 3 x^2 - 4 x + 1 d x

Usando a propriedade dos integrais:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

int 3 x^2 d x - int 4 x d x + int 1 ⅆ x

Passo 2

Calcularemos a integral indefinida, de cada integral que compõe a expressão:

A começar por:

int x^2 d x

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: 3 (x^3)/(3)

Simplificando, temos apenas: x^3

Indo agora, para a segunda integral:

int 4 x d x

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: (4 x^2)/(2)

Simplificando, temos apenas: 2 x^2

Indo finalmente para última integral:

int 1 d x

Usando a propriedade que dispõe que: int 1 ⅆ x = x .

Temos: x

Unindo as equações, temos:

x^3 - 2 x^2 + x

Passo 3

Agora, finalmente, vamos ao último passo, que é adicionar os limites de integração para calcular a integral definida:

((x^3 - 2 x^2 + x)|_0^2

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

2^3 - 2 * 2^2 + 2 - (0^3 - 2 * 0^2 + 0)

Calculando a expressão acima, temos que o resultado é 2.

Resposta

O resultado dessa integral é 2.

Agora que acabamos essa, topa ir pra mais uma?!