Calcular cada um dos integrais seguintes:

16) int_0^2 |(x - 1) (3 x - 1)| ⅆ x

Passo 1

Calcula-se primeiro, quais valores a expressão dentro do módulo é positiva ou 0:

(x - 1) (3 x - 1) >= 0

Calculando o valor de x nessa inequação, podemos dizer que temos o seguinte conjunto solução:

x in ⟨- oo , ((1)/(3)] uu [1 , (+ oo⟩))

Usando a definição de valor absoluto, separamos o valor absoluto em dois casos possíveis:

|(x - 1) (3 x - 1)| = {[[(x - 1) * (3 x - 1) , x in ⟨- oo , ((1)/(3)] uu [1 , (+ oo⟩))],[- (x - 1) * (3 x - 1) , x in 〈(1)/(3) , 1〉]])

Logo, para x in ⟨- oo , ((1)/(3)] uu [1 , (+ oo⟩)) o integral int_()^() |(x - 1) (3 x - 1)| ⅆ x é o mesmo do integral int (x - 1) (3 x - 1) ⅆ x

Agora, para x in 〈(1)/(3) , 1〉 o integral int_()^() |(x - 1) (3 x - 1)| ⅆ x é o mesmo do integral int - (x - 1) (3 x - 1) ⅆ x

Sendo assim, reescrevendo o integral e usando a propriedade comutativa dos termos, temos:

int_0^(1 ∕ 3) ( x - 1 ) * (3 x - 1) d x + int_(1 ∕ 3)^1 - (x - 1) (3 x - 1) ⅆ x + int_1^2 (x - 1) (3 x - 1) ⅆ x

Passo 2

Agora, devemos chegar na integral indefinida de cada uma das integrais, sabemos, que a primeira e a última serão iguais, e, diante disso, começaremos operando por ela. Multiplicaremos cada termo dos primeiros parênteses por cada termo dos segundos parênteses, e, simplificando os termos equivalentes, obteremos a seguinte integral:

int 3 x^2 - 4 x + 1 d x

Usando a propriedade dos integrais:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

int 3 x^2 d x - int 4 x d x + int 1 ⅆ x

A começar por:

int x^2 d x

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: 3 (x^3)/(3)

Simplificando, temos apenas: x^3

Indo agora, para a segunda integral:

int 4 x d x

Usando int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos: (4 x^2)/(2)

Simplificando, temos apenas: 2 x^2

Indo finalmente para última integral:

int 1 d x

Usando a propriedade que dispõe que: int 1 ⅆ x = x .

Temos: x

Unindo as equações, temos:

x^3 - 2 x^2 + x

Fazendo o mesmo processo para a segunda equação, temos que analisar a propriedade das integrais que dispõe:

int - f (x) ⅆ x = - int f (x) ⅆ x

Temos que essa equação ficará exatamente igual a primeira, mas, com os sinais inversos, logo, ela ficará:

- x^3 + 2 x^2 - x

Passo 3

Agora, devemos calcular a integral definida, devolvendo seus limites de integração, de cada uma das integrais, e então somá-las:

Calculando a primeira, temos:

((x^3 - 2 x^2 + x)|_0^((1)/(3))

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

((1)/(3))^3 - 2 * ((1)/(3))^2 + (1)/(3) - (0^3 - 2 * 0^2 + 0)

Matematicamente, essa expressão equivale a 4/27

Agora, devemos fazer o mesmo com a segunda integral, definir os limites de integração e fazer o cálculo.

((- x^3 + 2 x^2 - x)|_(1 // 3)^1

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

- 1^3 + 2 * 1^2 - 1 - (- ((1)/(3))^3 + 2 * ((1)/(3))^2 - (1)/(3))

Matematicamente, essa expressão equivale a 4/27.

Agora, resta apenas repetir esse processo, de definir os limites de integração e de realizar o cálculo para a última integral:

((x^3 - 2 x^2 + x)|_1^2

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

2^3 - 2 * 2^2 + 2 - (1^3 - 2 * 1^2 + 1)

Matematicamente, essa expressão equivale a 2.

Agora sim, finalmente, nos resta somar os resultados das integrais acima descobertos:

(4)/(27) + (4)/(27) + 2 = (62)/(27)

Resposta

O resultado dessa integral é: 62/27.

Agora que nós já derrubamos essa gigante, vamos encarar mais uma?!