Calcular cada um dos integrais seguintes:
16)
Passo 1
Calcula-se primeiro, quais valores a expressão dentro do módulo é positiva ou 0:
Calculando o valor de x nessa inequação, podemos dizer que temos o seguinte conjunto solução:
Usando a definição de valor absoluto, separamos o valor absoluto em dois casos possíveis:
Logo, para o integral é o mesmo do integral
Agora, para o integral é o mesmo do integral
Sendo assim, reescrevendo o integral e usando a propriedade comutativa dos termos, temos:
Passo 2
Agora, devemos chegar na integral indefinida de cada uma das integrais, sabemos, que a primeira e a última serão iguais, e, diante disso, começaremos operando por ela. Multiplicaremos cada termo dos primeiros parênteses por cada termo dos segundos parênteses, e, simplificando os termos equivalentes, obteremos a seguinte integral:
Usando a propriedade dos integrais:
Temos:
A começar por:
Usando
Temos:
Simplificando, temos apenas:
Indo agora, para a segunda integral:
Usando
Temos:
Simplificando, temos apenas: 2
Indo finalmente para última integral:
Usando a propriedade que dispõe que:
Temos:
Unindo as equações, temos:
Fazendo o mesmo processo para a segunda equação, temos que analisar a propriedade das integrais que dispõe:
Temos que essa equação ficará exatamente igual a primeira, mas, com os sinais inversos, logo, ela ficará:
Passo 3
Agora, devemos calcular a integral definida, devolvendo seus limites de integração, de cada uma das integrais, e então somá-las:
Calculando a primeira, temos:
Usando
Temos:
Matematicamente, essa expressão equivale a 4/27
Agora, devemos fazer o mesmo com a segunda integral, definir os limites de integração e fazer o cálculo.
Usando
Temos:
Matematicamente, essa expressão equivale a 4/27.
Agora, resta apenas repetir esse processo, de definir os limites de integração e de realizar o cálculo para a última integral:
Usando
Temos:
Matematicamente, essa expressão equivale a 2.
Agora sim, finalmente, nos resta somar os resultados das integrais acima descobertos:
Resposta
O resultado dessa integral é: 62/27.
Agora que nós já derrubamos essa gigante, vamos encarar mais uma?!