Calcular cada um dos integrais seguintes:

18) int_(- 3)^3 (x^2 - 3)^3 ⅆ x

Passo 1

Para calcular a integral definida, antes devemos calcular a integral indefinida:

int (x^2 - 3)^3 ⅆ x

Usando (a * b)^3 = a^3 * 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3

Podemos desenvolver a expressão:

Podemos desenvolver a expressão:

int x^6 - 9 x^4 + 27 x^2 - 27 d x

Usando a propriedade dos integrais:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

int x^6 ⅆ x - int 9 x^4 ⅆ x + int 27 x^2 ⅆ x - int 27 ⅆ x

Passo 2

Nesse passo, resolveremos cada integral, e depois uniremos a expressão:

Para integral, int x^6 ⅆ x usaremos a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos então: (x^7)/(7)

Para a segunda integral, int 9 x^4 ⅆ x , continuaremos a usar a propriedade acima: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Teremos então: (9 x^5)/(5)

Para a terceira integral, int 27 x^2 ⅆ x , seguiremos usando a propriedade acima, int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Teremos então: (27 x^3)/(3)

Simplificando: 9 x^3

Para a última integral, devemos relembrar a seguinte propriedade: Usando a propriedade que dispõe que: int a ⅆ x = a x .

Então: 27 x

Unindo as expressões, temos:

(x^7)/(7) - (9 x^5)/(5) + 9 x^3 - 27 x

Passo 3

Agora, deveremos calcular a integral definida, devolvendo a expressão os limites de integração:

(((x^7)/(7) - (9 x^5)/(5) + 9 x^3 - 27 x)|_(- 3)^3

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

(3^7)/(7) - (9 * 3^5)/(5) + 9 * 3^3 - 27 * 3 - (((- 3)^7)/(3) - (9 * (- 3)^5)/(5) + 9 * (- 3) ^3 - 27 * (- 3))

Calculando essa expressão, temos que esse resultado é:

(2592)/(35)

Resposta

O resultado dessa integral é (2592)/(35)