Calcular cada um dos integrais seguintes:

19) int_0^5 x^2 ( x - 5 )^4 ⅆ x

Passo 1

Para calcular a integral definida, devemos calcular primeiro a integral indefinida:

int x^2 (x - 5)^4 ⅆ x

Usando a substituição t = x - 5 e t = 1 , e ⅆ x = (1)/(t) * ⅆ t

Temos a seguinte transformação do integral:

int t^6 + 10 t^5 + 25 t^4 ⅆ t

Usando a propriedade dos integrais:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

int t^6 ⅆ t + int 10 t^5 ⅆ t + int 25 t^4 ⅆ t

Passo 2

Nesse passo, resolveremos cada integral que compõe a expressão, e em seguida, as uniremos:

Para integral, int t^6 ⅆ t usaremos a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos então: (t^7)/(7)

Para integral, int 10 t^5 ⅆ t usaremos a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos então: (10 t^6)/(6)

Simplificando: (5 t^6)/(3)

Para integral, int 25 t^4 ⅆ t usaremos a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Temos então: (25 t^5)/(5)

Simplificando: 5 t^5

Unindo os resultados encontrados, chegamos a seguinte expressão:

(t^7)/(7) + (5 t^6)/(3) + 5 t^5

Agora, deveremos devolver a substituição t=x-5, e obteremos a seguinte expressão:

((x - 5)^7)/(7) + (5 (x - 5)^6)/(3) + 5 (x - 5)^5

Passo 3

Nesse ponto, calcularemos a integral definida, devolvendo os limites de integração:

(([[((x - 5)^7)/(7),+,(5 (x - 5)^6)/(3),+,5,(x - 5)^5]])|_0^5

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

((5 - 5)^7)/(7) + (5 (5 - 5)^6)/(3) + 5 (5 - 5)^5 - ( ((0 - 5)^7)/(7) + (5 (0 - 5)^6)/(3) + 5 (0 - 5)^5 )

Calculando, vemos que o resultado é:

(5^6)/(21)

Ou

(15625)/(21)

Resposta

O resultado dessa integral é, (5^6)/(21)