Calcular a derivada f'(x) . Em cada caso subentende-se que x toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f(x) tem significado

f(x) = raiz(1 + x^2)

Passo 1

Faaala maninho(a)!! Aqui temos uma função composta, e para resolvê-la vamos utilizar uma regra que é unicamente conhecida como regra da cadeia ou regra de derivação de funções compostas. Parte do seguinte teorema que se u e v são funções tais que o domínio de u inclui o contradomínio de v podemos definir a função composta f = u * v mediante a igualdade

f x = u [ v x ]

A regra da derivação de funções compostas nos diz como exprimir a derivada de f em função

das derivadas u ' e v ' . Obtemos a seguinte forma

f ' x = u ' v x * v ' ( x )

Então após ter essa base, vamos resolver a questão

Passo 2

Temos então nossa incógnita f x = 1 + x ²

Vamos chamar o que está dentro da raiz de v e a função de u , sendo assim

v = 1 + x ² u = v

Passo 3

Agora vamos derivar v e u

v = 1 + x ²

v ' = 2 x

u = v

u ' = 1 2 v - 1 2

Após a derivação unindo as duas respostas conforme a regra e substituindo, fica assim:

= 1 2 v - 1 2 * ( 2 x )

Sabemos que v = 1 + x ² , então

= 1 2 ( 1 + x 2 ) - 1 2 * ( 2 x )

= 2 x 2 1 + x ²

Simplificando

= 2 x 2 1 + x ² = 2 2 * x 1 + x 2

= x 1 + x ²

Resposta

= x 1 + x ²