Calcular a derivada f'(x) . Subentende-se que cada fórmula é válida para os valores de x para os quais f'(x) está definida.

f(x) = (1 + x - x^2) / (1 - x + x²)

Passo 1

Falaaa maninho (a)!! Nesta questão vamos lembrar do teorema que diz que, sejam f e g duas funções definidas num mesmo intervalo. Em cada ponto em que f e g admitem derivadas, também admitem derivadas o quociente f / g . E a derivada desse tipo de função chamada de regra do quociente é definida pela fórmula:

f g ' = g * f ' - f * g ' g 2

Então a partir disto, ficou bem mais fácil de resolvermos nossa incógnita.

Passo 2

Temos nosso problema:

f x = 1 + x - x 2 1 - x + x ²

Então vamos resolvê-la de forma detalhada:

f ' x = 1 + x - x 2 ' * 1 - x + x 2 - 1 + x - x 2 * ( 1 - x + x 2 ) ' ( 1 - x + x 2 ) ²

= 1 - 2 x * 1 - x + x 2 - 1 + x - x 2 * ( - 1 + 2 x ) ( 1 - x + x 2 ) ²

= ( 1 - x + x 2 - 2 x + 2 x 2 - 2 x 3 + 1 - 2 x + x - 2 x 2 - x 2 + 2 x 3 ) ( 1 - x + x 2 ) ²

Passo 3

Cancelando nossos semelhantes de sinais opostos, tem-se

= 2 - 4 x 1 - x + x 2 2

Isolando o número que está no numerador e que ao multiplicar voltará a forma anterior

= 2 ( 1 - 2 x ) 1 - x + x 2 2

Prontinho, temos nosso resultado!! 😉

Resposta

= 2 ( 1 - 2 x ) 1 - x + x 2 2