Calcular a derivada f’(x). Subentende-se que cada fórmula é válida para os valores de x para os quais f(x) está definida

f x = t g x s e c x

Passo 1

Faaala maninho(a)!! Nessa nossa incógnita além de usarmos a regras de derivação, vamos também utilizar identidades trigonométricas, come on guys 😊

f x = t g x s e c x

f ' x = t g x ' s e c x + ( t g x ) ( s e c x ) '

Já podemos analisar que é uma questão que podemos utilizar a regra do produto de início, porém depois logo percebemos as identidades trigonométricas de t g x = s e n x c o s x e já de s e c x = 1 c o s x , com isso reescrevemos nossa questão.

f ' x = s e n x c o s x ' s e c x + ( t g x ) ( 1 c o s x ) '

Nota-se que passamos de regra do produto para regra do quociente em ambas derivações.

Passo 2

Vamos resolver passo a passo

f ' x = s e n x c o s x ' s e c x + ( t g x ) ( 1 c o s x ) '

f ' x = s e n x ' c o s x - s e n x c o s x ' c o s x 2 s e c x + ( t g x ) 1 ' c o s x - 1 c o s x 1 ( c o s x ) ²

= c o s 2 x + s e n 2 x c o s x 2 s e c x + ( t g x ) s e n x ( cos ⁡ x ) ²

Calminha ainda não acabou, sem pressa!!

Passo 3

Agora expandindo um pouco nossa resposta e utilizando a identidade trigonométrica novamente teremos:

= c o s 2 x + s e n 2 x c o s x 2 s e c x + t g x 1 c o s x s e n x ( cos ⁡ x )

c o s 2 x + s e n 2 x = 1

1 c o s x = s e c x

s e n x c o s x = t g x

1 + t g ² x = s e c ² x

Aplicando na resposta que encontramos temos:

= 1 c o s x 2 s e c x + t g x ( s e c x t g x )

= ( s e c 2 x ) s e c x + t g x ( s e c x t g x )

= ( s e c 3 x ) + s e c x t g ² x

Isolando sec x

= s e c x ( s e c 2 x + t g 2 x )

= s e c x 1 + t g 2 x + t g 2 x = s e c x ( 1 + 2 t g 2 x )

“Ai minha pressaun”, antes tarde do que nunca sim!? Temos nossa resposta então, até a próxima! 😊

Resposta

s e c x ( 1 + 2 t g 2 x )